极坐标表示法(Polar Coordinate System)

极坐标表示法（Polar Coordinate System） 是一种用距离和角度来表示点位置的坐标系统，它与我们常见的 笛卡尔坐标系（x, y） 不同。

🌟 一句话理解：

极坐标用“点到原点的距离”和“与x轴的夹角”来表示一个点，而不是用横坐标和纵坐标。

🧭 具体定义

在二维空间中，一个点 P 可以用极坐标表示为：

P=(r,θ)

其中：

  • r：点到原点（极点）的距离

  • θ：从正 x 轴到点所在连线的角度（单位通常是弧度或角度）

🔁 极坐标和笛卡尔坐标之间的转换

从极坐标转为笛卡尔坐标： $x=r⋅cos⁡(θ)y=r⋅sin⁡(θ)$

从笛卡尔坐标转为极坐标： $r=x2+y2θ=arctan⁡2(y,x)$

📐 为什么图像处理里喜欢用它？

在图像中，直线的笛卡尔表示（如 y=mx+b）对垂直线不稳定（m 趋于无穷），而极坐标形式表示直线就很自然且稳定：

ρ=x⋅cos⁡(θ)+y⋅sin⁡(θ)

这个公式可以把图像中任意一条直线唯一地表示为 (ρ,θ) 的组合，非常适合在参数空间里做霍夫变换。

📌 应用举例

  • 霍夫变换检测直线：把一张图像中多个边缘点转换成参数空间（ρ, θ），通过投票找到可能的直线。

  • 雷达、声纳系统：目标的位置以距离和方向表示，很自然用极坐标。

  • 螺旋扫描、医学图像（CT）：图像是围绕中心旋转采样，极坐标处理更方便。

🧠 总结一句话：

极坐标是“角度 + 距离”的方式描述位置，它在处理具有中心对称性、角度相关性或极向变化的场景中比笛卡尔坐标更自然和高效。