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特征值(Eigenvalue)

• 特征值是线性代数中的一个核心概念，与之相关的还有特征向量。它们在数学的多个领域（如线性代数、微分方程、矩阵分析）以及工程和科学计算中扮演着重要角色。

• 特征值反映了矩阵变换的缩放性质，在数学、物理和工程中有广泛应用。特征值和特征向量共同揭示了矩阵的结构及其作用在空间中的核心本质。

定义

• 对于一个给定的 n×n 方阵 A ，如果存在一个非零向量 v 和一个标量 λ 使得以下等式成立

$$\mathbf{Av}=\lambda \mathbf{v}$$

• 那么 λ 被称为矩阵 A 的特征值

• 而 v 则被称为对应于 λ 的特征向量

几何意义

• 特征值 λ 描述了当应用线性变换（由矩阵 A 表示）时，特征向量 v 在方向上被拉伸或压缩的程度。

• 如果 |λ|>1 ，则表示向量 v 被拉长；

• 如果 0<∣λ∣<1 ，则表示它被缩短

• 另外，如果 λ<0 ，则表示除了长度变化外，向量还发生了方向上的反转。

用途

• 对角化矩阵：如果一个矩阵的所有特征向量可以形成一组基底，则该矩阵可以通过相似变换对角化，这有助于简化许多计算。

• 稳定性分析：在动态系统中，特征值可以用来判断系统的稳定性。例如，在线性微分方程组中，所有特征值的实部为负通常意味着系统的稳定。

• 主成分分析 (PCA)：在统计学和机器学习中，PCA 是一种使用特征值分解来减少数据维度的技术。

• 图论：在图论中，图的邻接矩阵或拉普拉斯矩阵的特征值提供了关于图结构的重要信息。

特征值的计算

• 每个 n×n 矩阵都有 n 个特征值（计重数），这些特征值可能是实数也可能是复数。

• 寻找特征值的问题通常通过求解特征多项式的根来完成，这个多项式定义为：

$$\begin{array}{r}\begin{array}{c}\begin{array}{c}det(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})=0\\ \mathrm{其}\mathrm{中}\\ det\mathrm{表}\mathrm{示}\mathrm{行}\mathrm{列}\mathrm{式}，\\ \mathbf{I}\mathrm{是}\mathrm{单}\mathrm{位}\mathrm{矩}\mathrm{阵}\end{array}\\ \begin{array}{c}\mathbf{I}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\end{array}\end{array}\end{array}$$

示例

设矩阵 A

$$\begin{array}{r}\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 1& 3\end{array}\right)\end{array}$$

特征方程：

$$\begin{array}{r}det(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})=det\left(\begin{array}{cc}4-\lambda & 2\\ 1& 3-\lambda \end{array}\right)=(4-\lambda )(3-\lambda )-2\cdot 1={\lambda }^2-7\lambda +10=0\\ \mathrm{解}\mathrm{得}\lambda =5，\lambda =2\end{array}$$

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