迹函数(trace function)¶

迹函数（trace function）是线性代数中一个非常重要的概念
迹函数是矩阵的重要标量特征之一

定义¶

对于一个 𝑛×𝑛 的方阵 𝐴 ，其迹（trace）定义为矩阵对角线元素的总和，用符号 tr(𝐴) 表示：

\[tr(\mathbf{A}) = \sum_{i=1}^n{a_{ii}}\]

其中， \(a_{ii}\) 是矩阵 A 的第i行、第i列的元素

性质¶

线性性

\[\begin{split}tr(\mathbf{A} + \mathbf{B}) = tr(\mathbf{A}) + tr(\mathbf{B}) \\ tr(c \mathbf{A}) = c \cdot tr(\mathbf{A}) ，其中 c 是常量\end{split}\]

对转置的性质：迹值对转置操作不变

\[tr(\mathbf{A^\top}) = tr(\mathbf{A})\]

对乘积的性质（循环不变性）

\[\begin{split}若 \mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n} 且 \mathbf{B} \in \mathbb{R}^{n \times m} ,则 \\ tr(\mathbf{A} \mathbf{B}) = tr(\mathbf{B} \mathbf{A})\end{split}\]

迹和特征值：矩阵 𝐴 的迹等于其特征值之和。
迹的导数

\[\begin{split}对于可导矩阵函数 \mathbf{X} ，tr(\mathbf{X}) 关于 \mathbf{X} 的梯度为 \\ \nabla_{\mathbf{x}} tr(\mathbf{X}) = \mathbf{I} \\ 其中， \mathbf{I} 是单位矩阵\end{split}\]