迹函数(trace function)

  • 迹函数(trace function)是线性代数中一个非常重要的概念

  • 迹函数是矩阵的重要标量特征之一

定义

  • 对于一个 𝑛×𝑛 的方阵 𝐴 ,其迹(trace)定义为矩阵对角线元素的总和,用符号 tr(𝐴) 表示:

tr(A)=i=1naii
  • 其中, aii 是矩阵 A 的第i行、第i列的元素

性质

  • 线性性

tr(A+B)=tr(A)+tr(B)tr(cA)=ctr(A)c
  • 对转置的性质:迹值对转置操作不变

tr(A)=tr(A)
  • 对乘积的性质(循环不变性)

ARm×nBRn×m,tr(AB)=tr(BA)
  • 迹和特征值:矩阵 𝐴 的迹等于其特征值之和。

  • 迹的导数

Xtr(X)Xxtr(X)=II