概率质量函数(Probability Mass Function, PMF)¶
概率质量函数（PMF）是离散随机变量的一种基本概念，用来描述离散随机变量取特定值的概率分布。
概率质量函数是离散随机变量的核心概念，清晰地描述了每个可能值的概率分布。通过 PMF，可以全面掌握离散随机变量的特性及其实际应用场景。
定义¶
对于离散随机变量 𝑋，其概率质量函数 𝑃(𝑋=𝑥) 满足以下条件：
\[ \begin{align}\begin{aligned}\begin{split}1. P(X=x)≥0 \\
2. \sum_{x \in 可能的取值} P(X=x) = 1 \\\end{split}\\解释:
P(X=x): 表示随机变量 𝑋 等于某一个具体值 𝑥 的概率
可能的取值是离散的，而不是连续的\end{aligned}\end{align} \]
与概率密度函数的区别¶
直观理解¶
PMF 通过将离散的可能值与其对应的概率一一映射，帮助我们理解随机变量的分布情况。
- 例如：
投掷一个普通六面骰子时，随机变量 𝑋 表示掷出的点数，可能值为 {1,2,3,4,5,6}。
每个值的概率是 𝑃(𝑋=𝑥)=1/6
PMF 描述了每个可能结果的发生概率。
常见离散分布的 PMF 示例¶
伯努利分布:
\[ \begin{align}\begin{aligned}P(X=x)=p^{x}(1-p)^{1-x}, \quad x \in\{0,1\}\\其中 p 是成功的概率。\end{aligned}\end{align} \]
二项分布:
\[ \begin{align}\begin{aligned}P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}, \quad k \in\{0,1, \ldots, n\}\\表示在 n 次试验中成功 k 次的概率。\end{aligned}\end{align} \]
几何分布:
\[ \begin{align}\begin{aligned}P(X=k)=(1-p)^{k-1} p, \quad k \in\{1,2,3, \ldots\}\\表示第一次成功在第 k 次试验的概率。\end{aligned}\end{align} \]
泊松分布:
\[ \begin{align}\begin{aligned}P(X=k)=\frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!}, \quad k \in\{0,1,2, \ldots\}\\用于描述单位时间或单位空间内某事件发生的次数。\end{aligned}\end{align} \]