概率质量函数(Probability Mass Function, PMF)¶

概率质量函数（PMF）是离散随机变量的一种基本概念，用来描述离散随机变量取特定值的概率分布。
概率质量函数是离散随机变量的核心概念，清晰地描述了每个可能值的概率分布。通过 PMF，可以全面掌握离散随机变量的特性及其实际应用场景。

定义¶

对于离散随机变量 𝑋，其概率质量函数 𝑃(𝑋=𝑥) 满足以下条件：

\begin{array}{r} \begin{matrix} \begin{matrix} 1. P (X = x) \geq 0 \\ 2. \sum_{x \in 可 能 的 取 值} P (X = x) = 1 \end{matrix} \\ 解 释 : P (X = x) : 表 示 随 机 变 量 𝑋 等 于 某 一 个 具 体 值 𝑥 的 概 率 可 能 的 取 值 是 离 散 的 ， 而 不 是 连 续 的 \end{matrix} \end{array}

https://img.zhaoweiguo.com/uPic/2024/12/v0xpsC.png — 与概率密度函数的区别¶

直观理解¶

PMF 通过将离散的可能值与其对应的概率一一映射，帮助我们理解随机变量的分布情况。
例如：
- 投掷一个普通六面骰子时，随机变量 𝑋 表示掷出的点数，可能值为 {1,2,3,4,5,6}。
- 每个值的概率是 𝑃(𝑋=𝑥)=1/6
PMF 描述了每个可能结果的发生概率。

常见离散分布的 PMF 示例¶

伯努利分布:

\begin{array}{r} \begin{matrix} P (X = x) = p^{x} (1 - p)^{1 - x}, x \in {0, 1} \\ 其 中 p 是 成 功 的 概 率 。 \end{matrix} \end{array}

二项分布:

\begin{array}{r} \begin{matrix} P (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}, k \in {0, 1, \dots, n} \\ 表 示 在 n 次 试 验 中 成 功 k 次 的 概 率 。 \end{matrix} \end{array}

几何分布:

\begin{array}{r} \begin{matrix} P (X = k) = (1 - p)^{k - 1} p, k \in {1, 2, 3, \dots} \\ 表 示 第 一 次 成 功 在 第 k 次 试 验 的 概 率 。 \end{matrix} \end{array}

泊松分布:

\begin{array}{r} \begin{matrix} P (X = k) = \frac{λ^{k} e^{- λ}}{k!}, k \in {0, 1, 2, \dots} \\ 用 于 描 述 单 位 时 间 或 单 位 空 间 内 某 事 件 发 生 的 次 数 。 \end{matrix} \end{array}

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