分布-正态分布(Normal Distribution)¶

关联分布-高斯分布(Gaussian Distribution)
正态分布（Normal Distribution），又称高斯分布，是一种重要的连续概率分布，广泛应用于自然科学和社会科学领域。正态分布是描述随机变量的一种理想化模型，它的概率密度函数呈钟形，具有对称性和特定的数学特性。

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} e^{- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}}

其中:

μ：均值（mean），表示分布的中心。
𝜎^2 ：方差（variance），表示分布的宽度，反映数据的离散程度

𝜎 越大，分布越宽、越平
𝜎 越小，分布越窄、越尖

当随机变量 𝑋 服从正态分布时，记作:

𝑋 ∼ 𝑁(𝜇, 𝜎^2)

特点¶

对称性:

正态分布以均值 𝜇 为中心，关于 𝜇 对称。
均值、中位数和众数相等，且都等于 𝜇。

钟形曲线:

曲线呈钟形，峰值位于均值 𝜇，两侧逐渐向零无限接近，但永远不会达到零。

68-95-99.7 规则（经验法则）:

在正态分布中：
数据有约 68% 位于 𝜇±𝜎 范围内。
数据有约 95% 位于 𝜇±2𝜎 范围内。
数据有约 99.7% 位于 𝜇±3𝜎 范围内。

标准化:

标准正态分布是特殊的正态分布，其均值为 0，标准差为 1，即 𝑁(0,1)。
可通过标准化公式将任意正态分布转化为标准正态分布：
    𝑍=(𝑋−𝜇)/𝜎
    其中 𝑍 是标准化后的变量。

自然现象:

人类身高、体重、智商等通常服从正态分布。
测量误差或噪声往往近似服从正态分布。

统计分析:

大量统计方法基于正态分布假设，例如线性回归、假设检验。

金融领域:

用于建模资产回报、风险估计。

机器学习与数据科学:

特征工程中对数据标准化。
假设数据满足正态分布，简化模型假设。

标准正态分布是特定参数下的高斯分布:

𝜇=0, 𝜎2=1

其概率密度函数为:

𝑓 (𝑥) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{x^{2}}{2}}

\begin{array}{r} \begin{matrix} f (x) = \frac{1}{(2 π)^{n / 2} | Σ |^{1 / 2}} \exp (- \frac{1}{2} (x - μ)^{⊤} Σ^{- 1} (x - μ)) \\ \begin{matrix} 其 中 : \\ - x \in R^{n} 是 随 机 变 量 向 量 \\ - μ \in R^{n} 是 均 值 向 量 \\ - Σ \in R^{n \times n} 是 协 方 差 矩 阵 ， 描 述 变 量 之 间 的 相 关 性 \end{matrix} \end{matrix} \end{array}