.. _正态分布:

分布-正态分布(Normal Distribution)
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* 关联 :ref:`高斯分布`


* 正态分布（Normal Distribution），又称高斯分布，是一种重要的连续概率分布，广泛应用于自然科学和社会科学领域。正态分布是描述随机变量的一种理想化模型，它的概率密度函数呈钟形，具有对称性和特定的数学特性。


.. math::

    f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}

其中::

    μ：均值（mean），表示分布的中心。
    𝜎^2 ：方差（variance），表示分布的宽度，反映数据的离散程度

    𝜎 越大，分布越宽、越平
    𝜎 越小，分布越窄、越尖

当随机变量 𝑋 服从正态分布时，记作::

    𝑋 ∼ 𝑁(𝜇, 𝜎^2)


.. figure:: https://img.zhaoweiguo.com/uPic/2024/12/kTpXEP.png



特点
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对称性::

    正态分布以均值 𝜇 为中心，关于 𝜇 对称。
    均值、中位数和众数相等，且都等于 𝜇。

钟形曲线::

    曲线呈钟形，峰值位于均值 𝜇，两侧逐渐向零无限接近，但永远不会达到零。

68-95-99.7 规则（经验法则）::

    在正态分布中：
    数据有约 68% 位于 𝜇±𝜎 范围内。
    数据有约 95% 位于 𝜇±2𝜎 范围内。
    数据有约 99.7% 位于 𝜇±3𝜎 范围内。

.. figure:: https://img.zhaoweiguo.com/uPic/2024/12/h8D3o6.png


标准化::

    标准正态分布是特殊的正态分布，其均值为 0，标准差为 1，即 𝑁(0,1)。
    可通过标准化公式将任意正态分布转化为标准正态分布：
        𝑍=(𝑋−𝜇)/𝜎
        其中 𝑍 是标准化后的变量。



应用
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自然现象::

    人类身高、体重、智商等通常服从正态分布。
    测量误差或噪声往往近似服从正态分布。

统计分析::

    大量统计方法基于正态分布假设，例如线性回归、假设检验。

金融领域::

    用于建模资产回报、风险估计。

机器学习与数据科学::

    特征工程中对数据标准化。
    假设数据满足正态分布，简化模型假设。




标准正态分布
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标准正态分布是特定参数下的高斯分布::

    𝜇=0, 𝜎2=1

其概率密度函数为:

.. math::

    𝑓(𝑥)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}


* 标准正态分布的累积分布函数 **Φ(𝑥)** 常用于统计表或数值计算。



多维高斯分布
============

* 多维高斯分布是高斯分布的扩展，适用于多变量的情况。
* 其概率密度函数为：

.. math::

    f(\mathbf{x})=\frac{1}{(2 \pi)^{n / 2}|\boldsymbol{\Sigma}|^{1 / 2}} \exp \left(-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\mu)^{\top} \boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\mathbf{x}-\mu)\right)


    其中: \\
    -  \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}  是随机变量向量 \\
    -  \mu \in \mathbb{R}^{n}  是均值向量 \\
    -  \boldsymbol{\Sigma} \in \mathbb{R}^{n \times n}  是协方差矩阵，描述变量之间的相关性