分布-泊松分布(Poisson Distribution)¶

泊松分布（Poisson Distribution）是概率论和统计学中一种常见的离散概率分布，用于描述在固定时间或空间区间内某个事件发生的次数。
它特别适用于那些事件发生率低、但观察区间足够长以至于可以预期至少发生几次的情况。
例如，它可以用来模拟单位时间内到达某服务窗口的顾客数量、一定体积水中的细菌数、或者给定时间段内的交通事故数量等。

特点¶

离散性：泊松分布是一个离散分布，意味着它只能取非负整数值。
参数 λ（lambda）：泊松分布由一个参数 λ>0 决定，λ 表示在指定的时间或空间间隔内事件的平均发生次数。它是泊松分布的期望值（均值）和方差。
独立性：假设事件的发生是相互独立的，即一个事件的发生不影响其他事件发生的概率。
稀有性：通常用于描述稀有事件，即在较长的时间或较大的空间范围内相对较少发生的事件。

概率质量函数¶

\[ \begin{align}\begin{aligned}P(X=k)=\frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!}, \quad k \in\{0,1,2, \ldots\}\\说明： k 是我们感兴趣的事件发生的次数 λ 是单位时间（或空间）内事件的平均发生次数 e 是自然对数的底数，约等于 2.71828\end{aligned}\end{align} \]

期望值与方差¶

对于泊松分布 X∼Poisson(λ)
其期望值 E[X] 和方差 Var(X) 都等于 λ:
```
E[X]=λ
Var(X)=λ
```
这意味着，泊松分布的形状完全由参数 λ 决定，且该参数同时决定了分布的集中趋势和离散程度。

应用场景¶

排队理论：预测服务系统（如电话交换台、银行柜机）的客户到达率。
生物学：分析基因突变的数量或细胞分裂的频率。
保险业：估计特定时间段内的理赔次数。
电信：评估网络流量或故障报告的数量。
质量管理：监控生产过程中缺陷产品的数目。

与其他分布的关系¶

二项分布的极限情况：当二项分布的试验次数 n 很大而每次试验成功的概率 p 很小，使得 np=λ 保持常数时，二项分布可以近似为泊松分布。这是因为在这样的条件下，二项分布的行为类似于稀有事件模型。
正态分布近似：如果 λ 足够大，泊松分布可以用正态分布来近似，因为随着 λ 的增大，泊松分布趋于对称并接近正态分布的形状。