分布-伯努利分布(Bernoulli Distribution)¶
伯努利分布是概率论中的一种离散概率分布，用于描述一次实验中只有两个可能结果的情形，比如成功与失败、是与否、1与0。
定义¶
一个随机变量 𝑋 服从伯努利分布，记为：
\[𝑋∼Bernoulli(𝑝)\]
其中:
𝑋 是一个离散随机变量。
𝑝 是成功的概率（0≤𝑝≤1）
1−𝑝 是失败的概率
随机变量 𝑋 的取值范围为:
𝑋=1 成功（概率𝑝）
𝑋=0 失败（概率1−𝑝）
概率质量函数(PMF)¶
伯努利分布的概率质量函数为
\[P(X=x)=p^{x}(1-p)^{1-x}, x \in\{0,1\}\]
解释:
- 当 x=1 时: P(X=1)=p
- 当 x=0 时: P(X=0)=1-p
统计特性¶
期望值 (均值):
\[\mathbb{E}[X]=p\]
方差:
\[\operatorname{Var}(X)=p(1-p)\]
标准差：
\[\sigma=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}=\sqrt{p(1-p)}\]
直观解释¶
伯努利分布可以看作是单次试验的结果建模。例如：
- 投掷一次硬币：
𝑋=1 表示正面朝上（成功），概率 𝑝。 𝑋=0 表示反面朝上（失败），概率 1−𝑝。
- 产品质量检测：
𝑋=1 表示产品合格。 𝑋=0 表示产品不合格。