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分布-伯努利分布(Bernoulli Distribution)

  • 伯努利分布是概率论中的一种离散概率分布，用于描述一次实验中只有两个可能结果的情形，比如成功与失败、是与否、1与0。

定义

一个随机变量 𝑋 服从伯努利分布，记为：

𝑋∼Bernoulli(𝑝)

其中:

𝑋 是一个离散随机变量。
𝑝 是成功的概率（0≤𝑝≤1）
1−𝑝 是失败的概率

随机变量 𝑋 的取值范围为:

𝑋=1  成功（概率𝑝）
𝑋=0  失败（概率1−𝑝）

概率质量函数(PMF)

伯努利分布的概率质量函数为

P(X=x)=px(1−p)1−x,x∈{0,1}

解释:

- 当  x=1  时:  P(X=1)=p
- 当  x=0  时:  P(X=0)=1-p

统计特性

  1. 期望值 (均值):

E[X]=p

  1. 方差:

Var(X)=p(1−p)

  1. 标准差：

σ=Var(X)=p(1−p)

直观解释

伯努利分布可以看作是单次试验的结果建模。例如：

投掷一次硬币：

𝑋=1 表示正面朝上（成功），概率 𝑝。 𝑋=0 表示反面朝上（失败），概率 1−𝑝。

产品质量检测：

𝑋=1 表示产品合格。 𝑋=0 表示产品不合格。

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