.. _伯努利分布:

分布-伯努利分布(Bernoulli Distribution)
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* 伯努利分布是概率论中的一种离散概率分布，用于描述一次实验中只有两个可能结果的情形，比如成功与失败、是与否、1与0。


定义
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一个随机变量 𝑋 服从伯努利分布，记为：

.. math::

    𝑋∼Bernoulli(𝑝)

其中::

    𝑋 是一个离散随机变量。
    𝑝 是成功的概率（0≤𝑝≤1）
    1−𝑝 是失败的概率

随机变量 𝑋 的取值范围为::

    𝑋=1  成功（概率𝑝）
    𝑋=0  失败（概率1−𝑝）


概率质量函数(PMF)
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伯努利分布的概率质量函数为

.. math::

    P(X=x)=p^{x}(1-p)^{1-x},   x \in\{0,1\}


解释::

    - 当  x=1  时:  P(X=1)=p
    - 当  x=0  时:  P(X=0)=1-p


统计特性
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1. 期望值 (均值):

.. math::

    \mathbb{E}[X]=p

2. 方差:

.. math::

    \operatorname{Var}(X)=p(1-p)

3. 标准差：

.. math::

    \sigma=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}=\sqrt{p(1-p)}


直观解释
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伯努利分布可以看作是单次试验的结果建模。例如：

    投掷一次硬币：
        𝑋=1 表示正面朝上（成功），概率 𝑝。
        𝑋=0 表示反面朝上（失败），概率 1−𝑝。

    产品质量检测：
        𝑋=1 表示产品合格。
        𝑋=0 表示产品不合格。