矩阵-转置矩阵¶
转置矩阵是线性代数中的基本概念之一，用于改变矩阵的行列结构。
定义¶
对于一个矩阵 \(\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}\) , 其转置矩阵记为 \(\mathbf{A}^{\top}\)
- 转置的规则是:
将矩阵的第 i 行变为转置矩阵的第 i 列
或者将第 j 列变为第 j 行。
如果:
\[\begin{split}\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}
\end{array}\right]\end{split}\]
那么其转置矩阵 mathbf{A}^{top} 为:
\[\begin{split}\mathbf{A}^{\top}=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m 1} \\
a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m 2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{1 n} & a_{2 n} & \cdots & a_{m n}
\end{array}\right]\end{split}\]
性质¶
转置的维度变换：
\[\begin{split}如果 \mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n} \\
则 \mathbf{A}^\top \in \mathbb{R}^{n \times m}\end{split}\]
双重转置: 转置操作是可逆的
\[(\mathbf{A}^{\top})^{\top} = \mathbf{A}\]
转置的加法性质
\[\mathbf{A+B}^{\top} = \mathbf{A}^{\top} + \mathbf{B}^{\top}\]
转置的标量乘积性质
\[(c\mathbf{A})^{\top} = c\mathbf{B}^{\top}\]
转置的矩阵乘积性质(注意矩阵乘积转置后，矩阵的顺序反转)
\[(\mathbf{AB})^{\top} = \mathbf{B}^{\top}\mathbf{A}^{\top}\]
对称矩阵：
\[\begin{split}如果 \mathbf{A}^{\top} = \mathbf{A} \\
则 \mathbf{A} 是对称矩阵\end{split}\]