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矩阵-转置矩阵

• 转置矩阵是线性代数中的基本概念之一，用于改变矩阵的行列结构。

定义

• 对于一个矩阵 $\mathbf{A}\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$ , 其转置矩阵记为 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{\top }}$

• 转置的规则是:

  • 将矩阵的第 i 行变为转置矩阵的第 i 列

  • 或者将第 j 列变为第 j 行。

如果:

$$\begin{array}{r}\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]\end{array}$$

那么其转置矩阵 mathbf{A}^{top} 为:

$$\begin{array}{r}{\mathbf{A}}^{\mathrm{\top }}=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{21}& \cdots & a_{m1}\\ a_{12}& a_{22}& \cdots & a_{m2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{1n}& a_{2n}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]\end{array}$$

性质

• 转置的维度变换：

$$\begin{array}{r}\mathrm{如}\mathrm{果}\mathbf{A}\in {\mathbb{R}}^{m\times n}\\ \mathrm{则}{\mathbf{A}}^{\mathrm{\top }}\in {\mathbb{R}}^{n\times m}\end{array}$$

• 双重转置: 转置操作是可逆的

$$({\mathbf{A}}^{\mathrm{\top }}{)}^{\mathrm{\top }}=\mathbf{A}$$

• 转置的加法性质

$${\mathbf{A}\mathbf{+}\mathbf{B}}^{\mathrm{\top }}={\mathbf{A}}^{\mathrm{\top }}+{\mathbf{B}}^{\mathrm{\top }}$$

• 转置的标量乘积性质

$$(c\mathbf{A}{)}^{\mathrm{\top }}=c{\mathbf{B}}^{\mathrm{\top }}$$

• 转置的矩阵乘积性质(注意矩阵乘积转置后，矩阵的顺序反转)

$$(\mathbf{AB}{)}^{\mathrm{\top }}={\mathbf{B}}^{\mathrm{\top }}{\mathbf{A}}^{\mathrm{\top }}$$

• 对称矩阵：

$$\begin{array}{r}\mathrm{如}\mathrm{果}{\mathbf{A}}^{\mathrm{\top }}=\mathbf{A}\\ \mathrm{则}\mathbf{A}\mathrm{是}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{矩}\mathrm{阵}\end{array}$$

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