行列式(determinant)¶
行列式是线性代数中的一个基本概念，它是一个特定的将方阵映射到标量的函数。对于 n×n 的方阵 A ，其行列式记作 det(A) 或者 ∣ A ∣ 。
定义¶
对于 2x2 矩阵¶
\[\begin{split}\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\end{split}\]
其行列式
\[det(\mathbf{A}) = ad -bc\]
对于 3x3 矩阵¶
\[\begin{split}\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{pmatrix}\end{split}\]
其行列式可以通过多种方法计算，例如按行或列展开：
\[det(\mathbf{A}) = a(ei - fh) -b(di - fg) + c(dh - eg)\]
更大矩阵¶
对于更大的矩阵，行列式的计算可以使用拉普拉斯展开、高斯消元法或者其他更复杂的算法，如LU分解等
作用¶
行列式的值可以用来确定矩阵的一些关键属性：
可逆性：如果一个矩阵的行列式不为零，则该矩阵是可逆的（或非奇异的）；如果行列式为零，则该矩阵是不可逆的（或奇异的）。
体积变换：在几何上，行列式的绝对值表示单位超立方体经过矩阵所代表的线性变换后形成的平行多面体的体积。如果是负值，则说明变换中还包含了反射操作。
特征值和特征向量：如前所述，在求解矩阵的特征值时，我们设置特征多项式的行列式等于零来找到特征值。