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方差/标准差

方差

  • 用于衡量一组数据的离散程度或分散程度。它反映了数据点与其均值之间的偏差程度。具体而言，方差越大，数据的分布越分散；方差越小，数据越集中。

  • 方差（Variance）是统计学和概率论中用于度量一组数值分散程度的重要指标。它衡量的是这些数值相对于其平均值的离散程度，即数据点与平均值之间的差异有多大。方差越大，表示数据点分布越广；方差越小，则表示数据点更紧密地聚集在平均值周围。

定义

总体方差

对于一个随机变量 X，其方差通常记作 Var(X) 或 σ^2 ，定义为：

Var(X)=E[(X−μ)2]这里:−E[⋅]表示期望值（即平均值或均值）−μ=E[X]是随机变量X的期望值−X−μ是每个观测值与平均值之差,也称为偏差−(X−μ)2是偏差的平方,确保了所有偏差都是正数,并且放大了较大偏差的影响

  • 总体方差（适用于整个人群或完整数据集）

σ2=1N∑i=1N(xi−μ)2N:数据点总数μ:总体均值

样本方差

  • 样本方差（用于估计总体的离散程度）

s2=1n−1∑i=1n(xi−x¯)2n:样本数据点总数x¯:样本均值样本方差中分母为𝑛−1是为了校正偏差，这一调整被称为贝塞尔校正。

意义

  • 衡量离散程度：方差为零意味着所有数据点都相等，完全没有分散性。方差越大，数据分布越宽，偏离均值的程度越高。

  • 分析数据的分布特性：在数据建模中，方差可以帮助理解数据的波动性，进而指导优化模型或做出预测。

  • 标准差的基础：方差的平方根即为 标准差（Standard Deviation, 𝜎 或 𝑠），它是与数据离散性相关的另一个常用指标。

标准差

  • 标准差（Standard Deviation）是统计学中用来衡量数据分布离散程度的指标之一，它是方差的平方根。与方差相比，标准差的单位与原始数据相同，因此更直观地反映了数据的波动情况。

公式

  • 总体标准差（适用于整个人群或完整数据集）：

σ=1N∑i=1N(xi−μ)2σ：总体标准差𝑁：数据点总数𝜇：总体均值𝑥𝑖：第𝑖个数据点

  • 样本标准差（用于从样本估计总体标准差）：

s=1n−1∑i=1n(xi−x¯)2s：样本标准差n:样本数据点总数x¯:样本均值𝑥𝑖：第𝑖个数据点

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