方差/标准差¶

方差¶

用于衡量一组数据的离散程度或分散程度。它反映了数据点与其均值之间的偏差程度。具体而言，方差越大，数据的分布越分散；方差越小，数据越集中。
方差（Variance）是统计学和概率论中用于度量一组数值分散程度的重要指标。它衡量的是这些数值相对于其平均值的离散程度，即数据点与平均值之间的差异有多大。方差越大，表示数据点分布越广；方差越小，则表示数据点更紧密地聚集在平均值周围。

定义¶

总体方差¶

对于一个随机变量 X，其方差通常记作 Var(X) 或 σ^2 ，定义为：

\[\begin{split}\begin{array}{l} \operatorname{Var}(X)=E\left[(X-\mu)^{2}\right] \\ 这里: \\ - E[\cdot] 表示期望值（即平均值或均值） \\ - \mu=E[X] 是随机变量 X 的期望值 \\ - X-\mu 是每个观测值与平均值之差, 也称为偏差 \\ - (X-\mu)^{2} 是偏差的平方, 确保了所有偏差都是正数, 并且放大了较大偏差的影响 \\ \end{array}\end{split}\]

总体方差（适用于整个人群或完整数据集）

\[\begin{split}\begin{array}{l} \sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}{N}(x_i - \mu)^2 \\ N: 数据点总数 \\ \mu: 总体均值 \\ \end{array}\end{split}\]

样本方差¶

样本方差（用于估计总体的离散程度）

\[\begin{split}\begin{array}{l} s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2 \\ \\ n: 样本数据点总数 \\ \bar{x}: 样本均值 \\ 样本方差中分母为 𝑛−1 是为了校正偏差，这一调整被称为贝塞尔校正。 \\ \end{array}\end{split}\]

意义¶

衡量离散程度：方差为零意味着所有数据点都相等，完全没有分散性。方差越大，数据分布越宽，偏离均值的程度越高。
分析数据的分布特性：在数据建模中，方差可以帮助理解数据的波动性，进而指导优化模型或做出预测。
标准差的基础：方差的平方根即为标准差（Standard Deviation, 𝜎 或 𝑠），它是与数据离散性相关的另一个常用指标。

标准差¶

标准差（Standard Deviation）是统计学中用来衡量数据分布离散程度的指标之一，它是方差的平方根。与方差相比，标准差的单位与原始数据相同，因此更直观地反映了数据的波动情况。

公式¶

总体标准差（适用于整个人群或完整数据集）：

\[ \begin{align}\begin{aligned}\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}{N}(x_i - \mu)^2}\\σ：总体标准差 𝑁：数据点总数 𝜇：总体均值 𝑥_𝑖 ：第 𝑖 个数据点\end{aligned}\end{align} \]

样本标准差（用于从样本估计总体标准差）：

\[ \begin{align}\begin{aligned}s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}\\\begin{split}s：样本标准差 \\ n: 样本数据点总数 \\ \bar{x}: 样本均值 \\ 𝑥_𝑖 ：第 𝑖 个数据点\end{split}\end{aligned}\end{align} \]