基本-对数(logarithmic)¶
定义¶
如果 :math:a^x=N （其中 a>0，且 a≠1），那么数 x 称为以 a 为底 N 的对数，记作 \(x=log_a{N}\)
运算法则(rule of logarithmic operations)¶
商的对数法则¶
对数的商法则是对数运算中的一项基本规则，用于计算两个正数比值的对数。这条法则可以简化复杂的除法运算为更简单的减法运算。
具体来说，如果 a, b, c 是正实数（a>0, b>0, c>0），且 b≠1，那么对数的商法则可以表示为
\[log_b(\frac{a}{c}) = log_b(a) - log_b(c)\]
积的对数法则¶
\[log_a(MN) = log_a{M} + log_a{N}\]
幂的对数法则¶
\[log_a(M^p) = \mathbf{p}log_a{M}\]
指数的对数法则¶
备注
指数的法则和幂的法则一样。
\[ \begin{align}\begin{aligned}\begin{split}log_a(a^x) = x \\
a^{log_a(x)} = x\end{split}\\\begin{split}p log_b(a) = log_b(a^p) \\
log_b(a^p) = p log_b(a)\end{split}\\\begin{split}log_a(b^(x+y)) = (x+y) log_a(b) \\
log_a(b^(x-y)) = (x-y) log_a(b)\end{split}\end{aligned}\end{align} \]
换底公式¶
\[log_a{M} = \frac{log_b{M}}{log_b{a}}\]
对数恒等式¶
\[\begin{split}log_a{a} = 1 \\
log_a{1} = 0 \\
因为任何数的0次方等于1，而一个数的一次方等于它自己\end{split}\]
逆运算关系¶
\[a^{log_a{M}} = M\]
对数的底的幂¶
\[log_{a^n}{M} = \frac{1}{n} log_a{M}\]