分布-几何分布(Geometric Distribution)¶
几何分布（Geometric Distribution）是概率论和统计学中的一种离散概率分布，它描述了在一系列独立的伯努利试验中，首次成功出现之前失败次数的概率分布。
换句话说，它用于计算在一个固定的成功概率下，直到第一次成功前进行的试验次数。
特点¶
离散性：几何分布是一个离散分布，意味着它可以取非负整数值0, 1, 2, …。
参数 p：几何分布由一个参数 p 决定，p 是每次试验成功的概率（0<p≤10<p≤1），因此失败的概率为 1−p。
独立性：假设每次试验都是独立的，即一次试验的结果不会影响另一次试验的结果。
首次成功：关注的是直到第一次成功为止所经历的失败次数，而不是总的试验次数。
概率质量函数¶
几何分布的概率质量函数（Probability Mass Function, PMF）给出了随机变量 X 等于某个非负整数 k 的概率，表示为:
P(X=k)=(1−p)^kp
这里:
k 是首次成功之前的失败次数，
p 是每次试验成功的概率。
如果我们将随机变量 Y 定义为直到第一次成功所需的总试验次数，则 Y=X+1 ，此时的PMF为:
P(Y=k)=(1−p)^(k−1)p
这里 k=1,2,3,...k=1,2,3,...
期望值与方差¶
对于几何分布 \(X \sim \operatorname{Geometric}(p)\) , 其期望值 E[X] 和方差 \(\operatorname{Var}(X)\) 分别为:
对于 Y , 因为 Y=X+1 , 所以:
应用场景¶
可靠性分析：评估系统或组件首次故障之前的工作周期。
排队理论：估计服务对象等待首次被服务的时间。
生物学：研究细胞分裂或其他生物过程中的首次事件发生时间。
市场营销：预测客户做出购买决定前需要接触广告的次数。
教育：分析学生掌握新概念所需的学习尝试次数。
与其他分布的关系¶
二项分布：几何分布可以看作是二项分布的一个特殊情况，其中只考虑首次成功，而二项分布则考虑固定次数试验中的成功次数。
负二项分布：当关注的是达到一定数量的成功之前发生的失败次数时，使用负二项分布。几何分布是负二项分布的一个特例，即当负二项分布的目标成功次数 r=1 时，它就变成了几何分布。