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分布-均匀分布(Uniform Distribution)

• 均匀分布：一种概率分布，其中所有可能的结果发生的概率都是相等的。根据随机变量的取值范围，可以将均匀分布分为以下两种类型：

类型

1. 离散均匀分布

• 定义：在有限个可能取值中，每个值的概率都相等。

• 例子：掷一个公平的骰子，可能的结果是1到6，每个结果的概率为 1/6

• 概率公式： 如果随机变量 𝑋 的可能取值为 ${𝑥}_1,{𝑥}_2,...,{𝑥}_{𝑛}$ ，则每个值的概率为：

$$𝑃(𝑋={𝑥}_{𝑖})=\frac{1}{𝑛},𝑖=1,2,\dots ,𝑛$$

2. 连续均匀分布

• 定义：在一个连续区间 [𝑎,𝑏] 内，随机变量取任意值的概率密度相同。

• 概率密度函数：

$$\begin{array}{r}f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a},& \text{ 如果 }x\in [a,b]\\ 0,& \text{ 如果 }x\notin [a,b]\end{array}\end{array}$$

• 性质:

  • 随机变量的期望值 (平均值): $\mathbb{E}[X]=\frac{a+b}{2}$

  • 随机变量的方差: $\mathrm{Var}(X)=\frac{(b-a{)}^2}{12}$

特点

• 概率相等：在指定范围内，每个值发生的概率（离散）或概率密度（连续）是一样的。

• 简单直观：均匀分布通常用于描述完全随机、无偏的情况，比如掷骰子、抽签、生成随机数等

应用

• 模拟随机现象：如生成随机数，随机抽样。

• 概率模型：在事件信息缺失时，用均匀分布表示未知的概率分布（最大熵原则）。

• 工程和科学：均匀分布常用于模拟实验数据或初始假设。

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