方差/标准差
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方差
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* 用于衡量一组数据的离散程度或分散程度。它反映了数据点与其均值之间的偏差程度。具体而言，方差越大，数据的分布越分散；方差越小，数据越集中。
* 方差（Variance）是统计学和概率论中用于度量一组数值分散程度的重要指标。它衡量的是这些数值相对于其平均值的离散程度，即数据点与平均值之间的差异有多大。方差越大，表示数据点分布越广；方差越小，则表示数据点更紧密地聚集在平均值周围。




定义
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总体方差
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对于一个随机变量 X，其方差通常记作 Var(X) 或 σ^2 ，定义为：

.. math::

    \begin{array}{l}
    \operatorname{Var}(X)=E\left[(X-\mu)^{2}\right] \\
    这里: \\
    -  E[\cdot]  表示期望值（即平均值或均值） \\
    -  \mu=E[X]  是随机变量  X  的期望值 \\
    -  X-\mu  是每个观测值与平均值之差, 也称为偏差 \\
    -  (X-\mu)^{2}  是偏差的平方, 确保了所有偏差都是正数, 并且放大了较大偏差的影响 \\
    \end{array}

* 总体方差（适用于整个人群或完整数据集）

.. math::

    \begin{array}{l}
    \sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}{N}(x_i - \mu)^2
    \\
    N: 数据点总数 \\
    \mu: 总体均值 \\
    \end{array}


样本方差
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* 样本方差（用于估计总体的离散程度）

.. math::

    \begin{array}{l}
    s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2 \\
    \\
    n: 样本数据点总数 \\
    \bar{x}: 样本均值 \\
    样本方差中分母为 𝑛−1 是为了校正偏差，这一调整被称为 贝塞尔校正。 \\
    \end{array}



意义
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* 衡量离散程度：方差为零意味着所有数据点都相等，完全没有分散性。方差越大，数据分布越宽，偏离均值的程度越高。

* 分析数据的分布特性：在数据建模中，方差可以帮助理解数据的波动性，进而指导优化模型或做出预测。

* 标准差的基础：方差的平方根即为 标准差（Standard Deviation, 𝜎 或 𝑠），它是与数据离散性相关的另一个常用指标。


标准差
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* 标准差（Standard Deviation）是统计学中用来衡量数据分布离散程度的指标之一，它是方差的平方根。与方差相比，标准差的单位与原始数据相同，因此更直观地反映了数据的波动情况。


公式
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* 总体标准差（适用于整个人群或完整数据集）：

.. math::

    \sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}{N}(x_i - \mu)^2}

    σ：总体标准差
    𝑁：数据点总数
    𝜇：总体均值
    𝑥_𝑖 ：第 𝑖 个数据点


* 样本标准差（用于从样本估计总体标准差）：


.. math::

    s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}

    s：样本标准差 \\
    n: 样本数据点总数 \\
    \bar{x}: 样本均值 \\
    𝑥_𝑖 ：第 𝑖 个数据点