概率质量函数(Probability Mass Function, PMF)
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* 概率质量函数（PMF）是离散随机变量的一种基本概念，用来描述离散随机变量取特定值的概率分布。
* 概率质量函数是离散随机变量的核心概念，清晰地描述了每个可能值的概率分布。通过 PMF，可以全面掌握离散随机变量的特性及其实际应用场景。

定义
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对于离散随机变量 𝑋，其概率质量函数 𝑃(𝑋=𝑥) 满足以下条件：

.. math::

   1. P(X=x)≥0 \\
   2. \sum_{x \in 可能的取值} P(X=x) = 1 \\

   解释:
       P(X=x): 表示随机变量 𝑋 等于某一个具体值 𝑥 的概率
       可能的取值是离散的，而不是连续的




.. figure:: https://img.zhaoweiguo.com/uPic/2024/12/v0xpsC.png

    与概率密度函数的区别



直观理解
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* PMF 通过将离散的可能值与其对应的概率一一映射，帮助我们理解随机变量的分布情况。
* 例如：
    * 投掷一个普通六面骰子时，随机变量 𝑋 表示掷出的点数，可能值为 {1,2,3,4,5,6}。
    * 每个值的概率是 𝑃(𝑋=𝑥)=1/6
* PMF 描述了每个可能结果的发生概率。




常见离散分布的 PMF 示例
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1. 伯努利分布:

.. math::

    P(X=x)=p^{x}(1-p)^{1-x}, \quad x \in\{0,1\}

    其中  p  是成功的概率。

2. 二项分布:

.. math::

    P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}, \quad k \in\{0,1, \ldots, n\}

    表示在  n  次试验中成功  k  次的概率。

3. 几何分布:

.. math::

    P(X=k)=(1-p)^{k-1} p, \quad k \in\{1,2,3, \ldots\}

    表示第一次成功在第  k  次试验的概率。

4. 泊松分布:

.. math::

    P(X=k)=\frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!}, \quad k \in\{0,1,2, \ldots\}

    用于描述单位时间或单位空间内某事件发生的次数。