# 极坐标表示法(Polar Coordinate System)

**极坐标表示法（Polar Coordinate System）** 是一种用**距离和角度**来表示点位置的坐标系统，它与我们常见的 **笛卡尔坐标系（x, y）** 不同。

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## 🌟 一句话理解：
> **极坐标**用“点到原点的距离”和“与x轴的夹角”来表示一个点，而不是用横坐标和纵坐标。

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## 🧭 具体定义

在二维空间中，一个点 \( P \) 可以用极坐标表示为：

\[
P = (r, \theta)
\]

其中：

- \( r \)：点到原点（极点）的距离
- \( \theta \)：从正 x 轴到点所在连线的角度（单位通常是弧度或角度）

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## 🔁 极坐标和笛卡尔坐标之间的转换

**从极坐标转为笛卡尔坐标：**
\[
x = r \cdot \cos(\theta) \\
y = r \cdot \sin(\theta)
\]

**从笛卡尔坐标转为极坐标：**
\[
r = \sqrt{x^2 + y^2} \\
\theta = \arctan2(y, x)
\]

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## 📐 为什么图像处理里喜欢用它？

在图像中，**直线的笛卡尔表示**（如 \( y = mx + b \)）对垂直线不稳定（m 趋于无穷），而极坐标形式表示直线就很自然且稳定：

\[
\rho = x \cdot \cos(\theta) + y \cdot \sin(\theta)
\]

这个公式可以把图像中任意一条直线唯一地表示为 \( (\rho, \theta) \) 的组合，非常适合在参数空间里做霍夫变换。

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## 📌 应用举例

- **霍夫变换检测直线**：把一张图像中多个边缘点转换成参数空间（ρ, θ），通过投票找到可能的直线。
- **雷达、声纳系统**：目标的位置以距离和方向表示，很自然用极坐标。
- **螺旋扫描、医学图像（CT）**：图像是围绕中心旋转采样，极坐标处理更方便。

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## 🧠 总结一句话：

> 极坐标是“角度 + 距离”的方式描述位置，它在处理具有**中心对称性、角度相关性或极向变化**的场景中比笛卡尔坐标更自然和高效。