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方差/标准差

方差

• 用于衡量一组数据的离散程度或分散程度。它反映了数据点与其均值之间的偏差程度。具体而言，方差越大，数据的分布越分散；方差越小，数据越集中。

公式

• 总体方差（适用于整个人群或完整数据集）

$$\begin{array}{r}\begin{array}{c}{\sigma }^2=\frac{1}{N}\sum _{i=1}N(x_i-\mu {)}^2\\ \begin{array}{c}N:\mathrm{数}\mathrm{据}\mathrm{点}\mathrm{总}\mathrm{数}\\ \mu :\mathrm{总}\mathrm{体}\mathrm{均}\mathrm{值}\end{array}\end{array}\end{array}$$

• 样本方差（用于估计总体的离散程度）

$$\begin{array}{r}\begin{array}{c}{s}^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2\\ \begin{array}{c}n:\mathrm{样}\mathrm{本}\mathrm{数}\mathrm{据}\mathrm{点}\mathrm{总}\mathrm{数}\\ \overline{x}:\mathrm{样}\mathrm{本}\mathrm{均}\mathrm{值}\\ \mathrm{样}\mathrm{本}\mathrm{方}\mathrm{差}\mathrm{中}\mathrm{分}\mathrm{母}\mathrm{为}𝑛-1\mathrm{是}\mathrm{为}\mathrm{了}\mathrm{校}\mathrm{正}\mathrm{偏}\mathrm{差}，\mathrm{这}\mathrm{一}\mathrm{调}\mathrm{整}\mathrm{被}\mathrm{称}\mathrm{为}\mathrm{贝}\mathrm{塞}\mathrm{尔}\mathrm{校}\mathrm{正}。\end{array}\end{array}\end{array}$$

意义

• 衡量离散程度：方差为零意味着所有数据点都相等，完全没有分散性。方差越大，数据分布越宽，偏离均值的程度越高。

• 分析数据的分布特性：在数据建模中，方差可以帮助理解数据的波动性，进而指导优化模型或做出预测。

• 标准差的基础：方差的平方根即为 标准差（Standard Deviation, 𝜎 或 𝑠），它是与数据离散性相关的另一个常用指标。

标准差

• 标准差（Standard Deviation）是统计学中用来衡量数据分布离散程度的指标之一，它是方差的平方根。与方差相比，标准差的单位与原始数据相同，因此更直观地反映了数据的波动情况。

公式

• 总体标准差（适用于整个人群或完整数据集）：

$$\begin{array}{r}\begin{array}{c}\sigma =\sqrt{\frac{1}{N}\sum _{i=1}N(x_i-\mu {)}^2}\\ \sigma ：\mathrm{总}\mathrm{体}\mathrm{标}\mathrm{准}\mathrm{差}𝑁：\mathrm{数}\mathrm{据}\mathrm{点}\mathrm{总}\mathrm{数}𝜇：\mathrm{总}\mathrm{体}\mathrm{均}\mathrm{值}{𝑥}_{𝑖}：\mathrm{第}𝑖\mathrm{个}\mathrm{数}\mathrm{据}\mathrm{点}\end{array}\end{array}$$

• 样本标准差（用于从样本估计总体标准差）：

$$\begin{array}{r}\begin{array}{c}s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2}\\ \begin{array}{c}s：\mathrm{样}\mathrm{本}\mathrm{标}\mathrm{准}\mathrm{差}\\ n:\mathrm{样}\mathrm{本}\mathrm{数}\mathrm{据}\mathrm{点}\mathrm{总}\mathrm{数}\\ \overline{x}:\mathrm{样}\mathrm{本}\mathrm{均}\mathrm{值}\\ {𝑥}_{𝑖}：\mathrm{第}𝑖\mathrm{个}\mathrm{数}\mathrm{据}\mathrm{点}\end{array}\end{array}\end{array}$$

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