方差/标准差¶
方差¶
用于衡量一组数据的离散程度或分散程度。它反映了数据点与其均值之间的偏差程度。具体而言，方差越大，数据的分布越分散；方差越小，数据越集中。
公式¶
总体方差（适用于整个人群或完整数据集）
\[ \begin{align}\begin{aligned}\sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}{N}(x_i - \mu)^2\\\begin{split}N: 数据点总数 \\
\mu: 总体均值\end{split}\end{aligned}\end{align} \]
样本方差（用于估计总体的离散程度）
\[ \begin{align}\begin{aligned}s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2\\\begin{split}n: 样本数据点总数 \\
\bar{x}: 样本均值 \\
样本方差中分母为 𝑛−1 是为了校正偏差，这一调整被称为 贝塞尔校正。\end{split}\end{aligned}\end{align} \]
意义¶
衡量离散程度：方差为零意味着所有数据点都相等，完全没有分散性。方差越大，数据分布越宽，偏离均值的程度越高。
分析数据的分布特性：在数据建模中，方差可以帮助理解数据的波动性，进而指导优化模型或做出预测。
标准差的基础：方差的平方根即为 标准差（Standard Deviation, 𝜎 或 𝑠），它是与数据离散性相关的另一个常用指标。
标准差¶
标准差（Standard Deviation）是统计学中用来衡量数据分布离散程度的指标之一，它是方差的平方根。与方差相比，标准差的单位与原始数据相同，因此更直观地反映了数据的波动情况。
公式¶
总体标准差（适用于整个人群或完整数据集）：
\[ \begin{align}\begin{aligned}\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}{N}(x_i - \mu)^2}\\σ：总体标准差
𝑁：数据点总数
𝜇：总体均值
𝑥_𝑖 ：第 𝑖 个数据点\end{aligned}\end{align} \]
样本标准差（用于从样本估计总体标准差）：
\[ \begin{align}\begin{aligned}s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}\\\begin{split}s：样本标准差 \\
n: 样本数据点总数 \\
\bar{x}: 样本均值 \\
𝑥_𝑖 ：第 𝑖 个数据点\end{split}\end{aligned}\end{align} \]