基本-对数(logarithmic)

定义

如果 $a^x=N$（其中 a>0，且 a≠1），那么数 x 称为以 a 为底 N 的对数，记作 $x=lo{g}_{a}N$

运算法则(rule of logarithmic operations)

商的对数法则

• 对数的商法则是对数运算中的一项基本规则，用于计算两个正数比值的对数。这条法则可以简化复杂的除法运算为更简单的减法运算。

• 具体来说，如果 a, b, c 是正实数（a>0, b>0, c>0），且 b≠1，那么对数的商法则可以表示为

$$lo{g}_b(\frac{a}{c})=lo{g}_b(a)-lo{g}_b(c)$$

积的对数法则

$$lo{g}_a(MN)=lo{g}_{a}M+lo{g}_{a}N$$

幂的对数法则

$$lo{g}_a(M^p)=\mathbf{p}lo{g}_{a}M$$

指数的对数法则

备注

指数的法则和幂的法则一样。

$$\begin{array}{r}\begin{array}{c}\begin{array}{c}lo{g}_a(a^x)=x\\ a^{lo{g}_a(x)}=x\end{array}\\ \begin{array}{c}plo{g}_b(a)=lo{g}_b(a^p)\\ lo{g}_b(a^p)=plo{g}_b(a)\end{array}\\ \begin{array}{c}lo{g}_a(b^{(}x+y))=(x+y)lo{g}_a(b)\\ lo{g}_a(b^{(}x-y))=(x-y)lo{g}_a(b)\end{array}\end{array}\end{array}$$

换底公式

$$lo{g}_{a}M=\frac{lo{g}_{b}M}{lo{g}_{b}a}$$

对数恒等式

$$\begin{array}{r}lo{g}_{a}a=1\\ lo{g}_{a}1=0\\ \mathrm{因}\mathrm{为}\mathrm{任}\mathrm{何}\mathrm{数}\mathrm{的}0\mathrm{次}\mathrm{方}\mathrm{等}\mathrm{于}1，\mathrm{而}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{一}\mathrm{次}\mathrm{方}\mathrm{等}\mathrm{于}\mathrm{它}\mathrm{自}\mathrm{己}\end{array}$$

逆运算关系

$$a^{lo{g}_{a}M}=M$$

对数的底的幂

$$lo{g}_{a^n}M=\frac{1}{n}lo{g}_{a}M$$