概率密度函数(Probability Density Function, PDF)

• 概率密度函数（PDF）是连续随机变量的一种重要概念，用于描述随机变量取值在某一区间内的可能性。

• 概率密度函数不能直接表示单个点的概率，而是通过积分计算出随机变量在某个范围内的概率。

定义

• 若随机变量 𝑋 是连续的，则其概率密度函数 ${𝑓}_{𝑋}(𝑥)$ 满足以下条件：

$$\begin{array}{r}\begin{array}{l}1.f_X(x)\ge 0,\mathrm{对}\mathrm{所}\mathrm{有}x\\ 2.\mathrm{随}\mathrm{机}\mathrm{变}\mathrm{量}X\mathrm{在}\mathrm{某}\mathrm{区}\mathrm{间}[a,b]\mathrm{内}\mathrm{的}\mathrm{概}\mathrm{率}\mathrm{为}:\\ P(a\le X\le b)={\int }_a^b{f}_X(x)dx\\ 3.\mathrm{概}\mathrm{率}\mathrm{密}\mathrm{度}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{在}\mathrm{整}\mathrm{个}\mathrm{定}\mathrm{义}\mathrm{域}\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{积}\mathrm{分}\mathrm{为}1:\\ {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_X(x)dx=1\end{array}\end{array}$$

直观理解

• $f_X(x)$ 表示随机变量在某一点的”密度”, 不是概率。

• $f_X(x)$ 越大, 随机变量在该点附近取值的可能性越高。

• 真正的概率需要通过积分计算，例如：

• $P(a\le X\le b)$ 是 $f_X(x)$ 在区间 [a, b] 的积分。

概率密度函数的特性

1. 非负性：

$$f_X(x)\ge 0,\mathrm{\forall }x$$

2. 归一性：

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_X(x)dx=1$$

3. 区间概率：随机变量在区间 [a, b] 内取值的概率为：

$$P(a\le X\le b)={\int }_a^b{f}_X(x)dx$$

4. 概率与微分的关系:

• $P(X=c)=0$ 对任何具体值 c 都成 $\stackrel{\downarrow }{}$ ，因为积分的区间长度为零。

与概率质量函数的区别

常见概率密度函数

1. 均匀分布

$$\begin{array}{r}{f}_X(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a},& \text{ if }a\le x\le b\\ 0,& \text{ otherwise }\end{array}\end{array}$$

随机变量在区间 [a, b] 上均匀分布, 所有值的密度相等。

2. 正态分布

$$f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

\mu 是均值, \sigma 是标准差 \ 正态分布的图形为对称的钟形曲线

3. 指数分布

$$\begin{array}{r}{f}_X(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x},& x\ge 0\\ 0,& x<0\end{array}\end{array}$$

用于描述事件发生的时间间隔。

4. 伽马分布

$$f_X(x)=\frac{{\lambda }^k{x}^{k-1}{e}^{-\lambda x}}{\mathrm{\Gamma }(k)},x\ge 0$$

\Gamma(k) 是伽马函数。

统计量计算

1. 期望值

$$\mathbb{E}[X]={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x{f}_X(x)dx$$

2. 方差

$$\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}\left[X^2\right]-(\mathbb{E}[X]{)}^2$$

其中: \ \mathbb{E}\left[X^{2}\right]=\int_{-\infty}^{\infty} x^{2} f_{X}(x) d x