概率密度函数(Probability Density Function, PDF)

• 概率密度函数（PDF）是连续随机变量的一种重要概念，用于描述随机变量取值在某一区间内的可能性。

• 概率密度函数不能直接表示单个点的概率，而是通过积分计算出随机变量在某个范围内的概率。

定义

• 若随机变量 𝑋 是连续的，则其概率密度函数 \(𝑓_𝑋(𝑥)\) 满足以下条件：

\[\begin{split}\begin{array}{l} 1. f_{X}(x) \geq 0 , 对所有 x \\ 2. 随机变量 X 在某区间 [a, b] 内的概率为: \\ P(a \leq X \leq b)=\int_{a}^{b} f_{X}(x) d x \\ 3. 概率密度函数在整个定义域上的积分为 1 : \\ \int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(x) d x=1 \end{array}\end{split}\]

直观理解

• \(f_{X}(x)\) 表示随机变量在某一点的”密度”, 不是概率。

• \(f_{X}(x)\) 越大, 随机变量在该点附近取值的可能性越高。

• 真正的概率需要通过积分计算，例如：

• \(P(a \leq X \leq b)\) 是 \(f_{X}(x)\) 在区间 [a, b] 的积分。

概率密度函数的特性

1. 非负性：

\[f_{X}(x) \geq 0, \quad \forall x\]

2. 归一性：

\[\int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(x) d x=1\]

3. 区间概率：随机变量在区间 [a, b] 内取值的概率为：

\[P(a \leq X \leq b)=\int_{a}^{b} f_{X}(x) d x\]

4. 概率与微分的关系:

• \(P(X=c)=0\) 对任何具体值 c 都成 \(\stackrel{\downarrow}{ }\) ，因为积分的区间长度为零。

与概率质量函数的区别

常见概率密度函数

1. 均匀分布

\[\begin{split}f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{b-a}, & \text { if } a \leq x \leq b \\ 0, & \text { otherwise } \end{array}\right.\end{split}\]

随机变量在区间 [a, b] 上均匀分布, 所有值的密度相等。

2. 正态分布

\[f_{X}(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}}\]

\mu 是均值, \sigma 是标准差 \ 正态分布的图形为对称的钟形曲线

3. 指数分布

\[\begin{split}f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{ll} \lambda e^{-\lambda x}, & x \geq 0 \\ 0, & x<0 \end{array}\right.\end{split}\]

用于描述事件发生的时间间隔。

4. 伽马分布

\[f_{X}(x)=\frac{\lambda^{k} x^{k-1} e^{-\lambda x}}{\Gamma(k)}, \quad x \geq 0\]

\Gamma(k) 是伽马函数。

统计量计算

1. 期望值

\[\mathbb{E}[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x f_{X}(x) d x\]

2. 方差

\[\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}\left[X^{2}\right]-(\mathbb{E}[X])^{2}\]

其中: \ \mathbb{E}\left[X^{2}\right]=\int_{-\infty}^{\infty} x^{2} f_{X}(x) d x