# 基本-对数(logarithmic)

## 定义

如果 $a^x=N$（其中 a>0，且 a≠1），那么数 x 称为以 a 为底 N 的对数，记作 $x=log_a{N}$


## 运算法则(rule of logarithmic operations)

### 商的对数法则

* 对数的商法则是对数运算中的一项基本规则，用于计算两个正数比值的对数。这条法则可以简化复杂的除法运算为更简单的减法运算。
* 具体来说，如果 a, b, c 是正实数（a>0, b>0, c>0），且 b≠1，那么对数的商法则可以表示为

```math
log_b(\frac{a}{c}) = log_b(a) - log_b(c)
```



### 积的对数法则

```math
log_a(MN) = log_a{M} + log_a{N}
```


### 幂的对数法则

```math
log_a(M^p) = \mathbf{p}log_a{M}
```


### 指数的对数法则

```note
 指数的法则和幂的法则一样。
```

```math
log_a(a^x) = x \\
a^{log_a(x)} = x

p log_b(a) = log_b(a^p) \\
log_b(a^p) = p log_b(a)

log_a(b^(x+y)) = (x+y) log_a(b) \\
log_a(b^(x-y)) = (x-y) log_a(b)
```


### 换底公式

```math
log_a{M} = \frac{log_b{M}}{log_b{a}}
```



### 对数恒等式

```math
log_a{a} = 1 \\
log_a{1} = 0 \\
因为任何数的0次方等于1，而一个数的一次方等于它自己
```


### 逆运算关系

```math
a^{log_a{M}} = M
```


### 对数的底的幂

```math
log_{a^n}{M} = \frac{1}{n} log_a{M}
```