2.1.58. K-Means聚类算法¶

K-Means聚类算法简介¶

一、核心思想¶

K-Means是一种无监督学习算法，用于对未标记的数据进行聚类。它的目标非常直观：将数据集中的 n 个样本划分为 k 个簇，使得同一簇内的样本彼此相似，而不同簇的样本差异较大。

这里的“相似”通常用距离来衡量，最常用的是欧几里得距离。算法通过迭代的方式，不断优化簇内样本到其中心点的距离之和，最终达到一个稳定的聚类结果。

二、工作流程（步骤）¶

K-Means算法遵循一个简单而有效的迭代过程：

初始化中心点
- 随机选择 k 个数据点作为初始的聚类中心（质心）。k 的值需要用户事先指定。
分配数据点
- 计算每一个数据点到 k 个质心的距离。
- 将每个数据点分配到距离它最近的那个质心所在的簇。
更新中心点
- 对于第一步分配形成的 k 个簇，重新计算每个簇的质心。
- 新的质心就是该簇中所有数据点的平均值（均值，这也是“K-Means”名字的由来）。
迭代与收敛
- 重复步骤2和步骤3，直到满足终止条件。常见的终止条件有：
  - 质心的位置不再发生明显变化（即移动距离小于某个阈值）。
  - 簇的分配情况不再改变。
  - 达到了预设的最大迭代次数。

整个过程可以直观地理解为下图所展示的迭代过程：

三、关键概念与优缺点¶

优点：

简单高效：原理和实现都非常简单，计算速度快，对于大型数据集也有较好的伸缩性。
结果可解释性强：聚类结果通常很直观，每个簇可以用其质心来代表。

缺点：

需要预先指定K值：k 的选择通常是一个难题，需要依赖经验或使用“肘部法则”等方法辅助判断。
对初始值敏感：不同的初始质心可能会导致完全不同的聚类结果。常用K-Means++ 算法来优化初始点的选择。
对异常值敏感：极端值或噪声点会对均值计算产生很大影响。
只能发现球状簇：它基于距离度量，对于非球形、复杂形状的簇识别效果不佳。
不适合离散分类：均值计算要求数据最好是连续数值型的。

四、如何选择K值？¶

由于K值需要人为指定，常用的选择方法有：

肘部法则：计算不同K值对应的聚类损失（通常是所有样本到其质心的距离平方和，称为SSE）。随着K增大，SSE会减小。当K增加到真实簇数时，SSE的下降幅度会骤减，然后随着K继续增大而平稳下降。这个转折点对应的K值就是建议值，形如手肘，故名“肘部法则”。
轮廓系数：结合了聚类的凝聚度和分离度，用于评估聚类的效果。轮廓系数的取值范围为[-1, 1]，值越大表示聚类效果越好。可以对不同的K值分别计算平均轮廓系数，从而选择最佳的K。

五、应用场景¶

K-Means算法因其简单高效，被广泛应用于各个领域：

客户细分：根据用户的购买行为、 demographics 等特征对客户进行分群，制定精准营销策略。
图像压缩：将图像中颜色相似的像素点聚类，用簇的质心颜色代替簇内所有颜色，减少颜色数量，从而实现压缩。
文档分类：对文本文档进行聚类，发现主题或类别。
异常检测：远离任何簇质心的点可以被识别为异常点。
特征学习：作为其他复杂算法的预处理步骤。

总结¶

K-Means是聚类分析中最基础、最常用的算法之一。它通过迭代计算样本点与质心的距离并不断更新质心来完成聚类任务。虽然存在对K值选择、初始值和异常值敏感等局限性，但其简单性、高效性和可解释性使其成为数据挖掘和机器学习领域不可或缺的工具。在实际应用中，常与K-Means++初始化、肘部法则等技巧结合使用，以获得更优的聚类效果。