2.2.64. 欧几里得空间(Euclidean space)

✅ 欧几里得空间

1. 定义

欧几里得空间是最常见、最直观的几何空间，由古希腊数学家 欧几里得在《几何原本》中奠基。它是我们日常生活中熟悉的 二维平面、三维空间的抽象与推广。

• 二维欧几里得空间：平面（x, y）

• 三维欧几里得空间：立体空间（x, y, z）

• n维欧几里得空间：推广到任意维度（x₁, x₂, …, xₙ）

---

2. 主要特征

1. 坐标表示

   • 每个点可以用一个固定维度的坐标向量表示，例如在三维中：

     $$P(x,y,z)$$

2. 距离度量

   • 点与点之间的距离用欧几里得距离表示（勾股定理推广）：

     $$d(P,Q)=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2+\cdots +(z_1-z_2{)}^2}$$

3. 几何规律

   • 满足我们熟悉的几何直觉：平行线不相交，三角形内角和等于180°，圆是到某点等距离的点的集合，等等。

---

3. 常见例子

• 二维空间：地图上的位置 (经度, 纬度)

• 三维空间：物体在现实世界中的坐标 (x, y, z)

• 高维空间：机器学习中的特征向量，例如一张图片可能被表示为 784 维向量（28×28 灰度像素）

---

4. 与非欧几里得空间的对比

• 欧几里得空间：平直、规则（像平面、立方体这样的直角世界）。

• 非欧几里得空间：曲率≠0，可能是弯曲的（如球面几何、双曲几何），或是不规则拓扑结构（如图、网络）。

✅ 非欧几里得空间

1. 定义

非欧几里得空间指不满足传统欧几里得几何公理（比如平行线公设）的空间。

• 在这些空间中，几何规律与我们在平面上熟悉的规律不同。

• 典型的表现是：空间具有曲率（curvature），或者结构是不规则的拓扑（如图、网络）。

---

2. 主要特征

1. 曲率存在

   • 欧几里得空间：曲率 = 0（平直空间）

   • 非欧几里得空间：曲率 ≠ 0（弯曲或复杂结构）

     • 正曲率：球面几何（地球表面）

     • 负曲率：双曲几何（鞍面）

2. 几何规律不同

   • 三角形内角和 ≠ 180°

     • 在球面上 > 180°

     • 在双曲空间 < 180°

   • 平行公理失效：

     • 球面上没有平行线（所有大圆相交）。

     • 双曲空间上一条直线外可以有无数条平行线。

3. 表示方式

   • 不能简单用固定维度的直角坐标系表示。

   • 可能需要邻接矩阵（图结构）、流形坐标等工具。

---

3. 常见例子

• 球面几何（Spherical geometry）

  • 地球表面上的经纬线：三角形内角和大于 180°。

• 双曲几何（Hyperbolic geometry）

  • 像马鞍面一样的空间：三角形内角和小于 180°。

• 图结构（Graph）

  • 社交网络、知识图谱、分子结构，这些都无法嵌入一个平直的欧几里得空间而不失真。

• 流形（Manifold）

  • 像弯曲的纸片、3D物体的表面。

---

4. 与欧几里得空间对比

特征	欧几里得空间	非欧几里得空间
曲率	0	非零（正或负），或不规则拓扑
三角形内角和	= 180°	≠ 180°
平行线	只有一条	没有（球面）或无数条（双曲面）
表示	坐标向量	图、流形、网络
例子	平面、立方体	地球表面、马鞍面、社交网络

---

5. 直观比喻

• 欧几里得空间：像在方格纸上画图，世界是平的，规则清晰。

• 非欧几里得空间：像在地球表面（球面几何），或者在社交网络（图结构）中走路，路径和角度的规则变得不同。

✅ 欧几里得数据结构（Euclidean Data Structures）

定义：数据分布在欧几里得空间中，即遵循传统的“平直空间”几何，比如二维平面、三维空间等。

典型特征：

• 数据可以用固定维度的向量表示。

• 空间满足欧几里得几何规则（如勾股定理、角度和为180度等）。

• 数据间的距离通常使用 **欧几里得距离（L2距离）**计算。

常见例子：

数据类型	说明
图像（Image）	每张图片是一个像素矩阵，可以视为高维向量
音频（Audio）	表示为时间序列向量
文本（Text）	用word embedding表示为向量（如BERT）
表格数据（Tabular Data）	每行是一个向量（数据点）

---

✅ 非欧几里得数据结构（Non-Euclidean Data Structures）

定义：数据分布在非欧几里得空间，如图结构、流形（manifold）或超曲面上，这些结构无法被自然地嵌入平直空间中。

典型特征：

• 数据之间的关系不是通过“固定维度的向量”描述，而是通过**拓扑结构（如边、邻接关系）**定义。

• 邻接、连接方式不规则，没有固定的“空间维度”概念。

• 不能简单使用欧几里得距离来计算相似性。

常见例子：

数据类型	说明
图（Graph）	节点和边构成的结构，如社交网络、知识图谱
网格网络（Mesh）	3D建模中的三角形网格结构
分子结构（Molecule）	原子作为节点，化学键为边
社交网络（Social Network）	用户为节点，关系为边
场景图（Scene Graph）	图像/视频中的物体关系建模

---

对比

特征维度	欧几里得数据结构	非欧几里得数据结构
数据表示	固定维度向量	图、流形等复杂结构
距离计算	欧几里得距离	图距离、路径长度、图卷积等
数据排列	规则排列（如矩阵）	不规则结构（如图）
模型示例	CNN、RNN、MLP等	GNN、GCN、ManifoldNet等

---

应用示例：

场景	数据结构	原因
图像识别	欧几里得结构	图像是矩阵，可用卷积处理
分子属性预测	非欧几里得结构	分子是图结构（原子和键）
社交关系分析	非欧几里得结构	用户之间关系构成图
商品推荐	混合结构	用户行为数据是非欧几里得（图），商品特征是向量

超曲面（Hypersurface）

超曲面（Hypersurface）是高维空间中推广了曲面（surface）的几何对象。

• 在二维空间中，曲线是一维的对象；

• 在三维空间中，曲面是二维的对象；

• 推广到更高维，超曲面就是比所在空间少一维的流形。

形式化定义

设有一个 $n$ 维空间（可以是欧几里得空间 ${\mathbb{R}}^n$，也可以是更一般的流形）：

• 一个 超曲面 是 局部维数为 $n-1$ 的子流形。

• 换句话说，它是一个可以在局部用一个方程 $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)=0$ 描述的集合，且 $\mathrm{\nabla }f\ne 0$。

直观理解

• 在 ${\mathbb{R}}^2$（平面）里，超曲面是 曲线；

• 在 ${\mathbb{R}}^3$（三维空间）里，超曲面是 曲面；

• 在 ${\mathbb{R}}^4$ 里，超曲面是一个 三维的几何对象，我们不能直观地想象，但数学上它就是三维“壳层”。

例子

1. 球面

   • 在三维空间 ${\mathbb{R}}^3$ 中，球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 是超曲面。

   • 在四维空间 ${\mathbb{R}}^4$ 中，满足 $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=1$ 的集合也是一个超曲面（它是一个“三维球壳”）。

2. 平面

   • 在 ${\mathbb{R}}^n$ 中，方程 $x_1=0$ 给出的集合是一个超曲面（一个 $(n-1)$ 维平面）。

3. 一般隐函数

   • 任意一个光滑函数 $f(x_1,\dots ,x_n)=0$ 定义的集合，只要梯度不为零，就是一个超曲面。