# 欧几里得空间(Euclidean space)


## ✅ 欧几里得空间

### 1. 定义

**欧几里得空间**是最常见、最直观的几何空间，由古希腊数学家 **欧几里得**在《几何原本》中奠基。它是我们日常生活中熟悉的 **二维平面、三维空间**的抽象与推广。

* **二维欧几里得空间**：平面（x, y）
* **三维欧几里得空间**：立体空间（x, y, z）
* **n维欧几里得空间**：推广到任意维度（x₁, x₂, …, xₙ）

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### 2. 主要特征

1. **坐标表示**

   * 每个点可以用一个固定维度的坐标向量表示，例如在三维中：

     $$
     P(x, y, z)
     $$

2. **距离度量**
   * 点与点之间的距离用**欧几里得距离**表示（勾股定理推广）：

     $$
     d(P, Q) = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + \dots + (z_1 - z_2)^2}
     $$

3. **几何规律**
   * 满足我们熟悉的几何直觉：平行线不相交，三角形内角和等于180°，圆是到某点等距离的点的集合，等等。

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### 3. 常见例子

* **二维空间**：地图上的位置 (经度, 纬度)
* **三维空间**：物体在现实世界中的坐标 (x, y, z)
* **高维空间**：机器学习中的特征向量，例如一张图片可能被表示为 784 维向量（28×28 灰度像素）

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### 4. 与非欧几里得空间的对比

* **欧几里得空间**：平直、规则（像平面、立方体这样的直角世界）。
* **非欧几里得空间**：曲率≠0，可能是弯曲的（如球面几何、双曲几何），或是不规则拓扑结构（如图、网络）。


## ✅ 非欧几里得空间

### 1. 定义

**非欧几里得空间**指不满足传统**欧几里得几何公理**（比如平行线公设）的空间。

* 在这些空间中，几何规律与我们在平面上熟悉的规律不同。
* 典型的表现是：空间具有**曲率（curvature）**，或者结构是**不规则的拓扑（如图、网络）**。

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### 2. 主要特征

1. **曲率存在**

   * 欧几里得空间：曲率 = 0（平直空间）
   * 非欧几里得空间：曲率 ≠ 0（弯曲或复杂结构）

     * 正曲率：球面几何（地球表面）
     * 负曲率：双曲几何（鞍面）

2. **几何规律不同**
   * 三角形内角和 ≠ 180°
     * 在球面上 > 180°
     * 在双曲空间 < 180°
   * 平行公理失效：
     * 球面上没有平行线（所有大圆相交）。
     * 双曲空间上一条直线外可以有无数条平行线。

3. **表示方式**
   * 不能简单用固定维度的直角坐标系表示。
   * 可能需要邻接矩阵（图结构）、流形坐标等工具。

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### 3. 常见例子

* **球面几何（Spherical geometry）**
  * 地球表面上的经纬线：三角形内角和大于 180°。
* **双曲几何（Hyperbolic geometry）**
  * 像马鞍面一样的空间：三角形内角和小于 180°。
* **图结构（Graph）**
  * 社交网络、知识图谱、分子结构，这些都无法嵌入一个平直的欧几里得空间而不失真。
* **流形（Manifold）**
  * 像弯曲的纸片、3D物体的表面。

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### 4. 与欧几里得空间对比

| 特征     | 欧几里得空间 | 非欧几里得空间         |
| ------ | ------ | --------------- |
| 曲率     | 0      | 非零（正或负），或不规则拓扑  |
| 三角形内角和 | = 180° | ≠ 180°          |
| 平行线    | 只有一条   | 没有（球面）或无数条（双曲面） |
| 表示     | 坐标向量   | 图、流形、网络         |
| 例子     | 平面、立方体 | 地球表面、马鞍面、社交网络   |

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### 5. 直观比喻

* **欧几里得空间**：像在方格纸上画图，世界是平的，规则清晰。
* **非欧几里得空间**：像在地球表面（球面几何），或者在社交网络（图结构）中走路，路径和角度的规则变得不同。



## ✅ 欧几里得数据结构（Euclidean Data Structures）

**定义**：数据分布在**欧几里得空间中**，即遵循传统的“平直空间”几何，比如二维平面、三维空间等。

### 典型特征：

* 数据可以用**固定维度的向量**表示。
* 空间满足**欧几里得几何规则**（如勾股定理、角度和为180度等）。
* 数据间的距离通常使用 **欧几里得距离（L2距离）**计算。

### 常见例子：

| 数据类型               | 说明                          |
| ------------------ | --------------------------- |
| 图像（Image）          | 每张图片是一个像素矩阵，可以视为高维向量        |
| 音频（Audio）          | 表示为时间序列向量                   |
| 文本（Text）           | 用word embedding表示为向量（如BERT） |
| 表格数据（Tabular Data） | 每行是一个向量（数据点）                |

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## ✅ 非欧几里得数据结构（Non-Euclidean Data Structures）

**定义**：数据分布在**非欧几里得空间**，如**图结构、流形（manifold）或超曲面上**，这些结构无法被自然地嵌入平直空间中。

### 典型特征：

* 数据之间的关系不是通过“固定维度的向量”描述，而是通过\*\*拓扑结构（如边、邻接关系）\*\*定义。
* **邻接、连接方式不规则**，没有固定的“空间维度”概念。
* 不能简单使用欧几里得距离来计算相似性。

### 常见例子：

| 数据类型                 | 说明                   |
| -------------------- | -------------------- |
| 图（Graph）             | 节点和边构成的结构，如社交网络、知识图谱 |
| 网格网络（Mesh）           | 3D建模中的三角形网格结构        |
| 分子结构（Molecule）       | 原子作为节点，化学键为边         |
| 社交网络（Social Network） | 用户为节点，关系为边           |
| 场景图（Scene Graph）     | 图像/视频中的物体关系建模        |

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### 对比

| 特征维度 | 欧几里得数据结构     | 非欧几里得数据结构            |
| ---- | ------------ | -------------------- |
| 数据表示 | 固定维度向量       | 图、流形等复杂结构            |
| 距离计算 | 欧几里得距离       | 图距离、路径长度、图卷积等        |
| 数据排列 | 规则排列（如矩阵）    | 不规则结构（如图）            |
| 模型示例 | CNN、RNN、MLP等 | GNN、GCN、ManifoldNet等 |

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### 应用示例：

| 场景     | 数据结构    | 原因                      |
| ------ | ------- | ----------------------- |
| 图像识别   | 欧几里得结构  | 图像是矩阵，可用卷积处理            |
| 分子属性预测 | 非欧几里得结构 | 分子是图结构（原子和键）            |
| 社交关系分析 | 非欧几里得结构 | 用户之间关系构成图               |
| 商品推荐   | 混合结构    | 用户行为数据是非欧几里得（图），商品特征是向量 |



## 超曲面（Hypersurface）

超曲面（**Hypersurface**）是**高维空间中推广了曲面（surface）的几何对象**。

* 在二维空间中，**曲线**是一维的对象；
* 在三维空间中，**曲面**是二维的对象；
* 推广到更高维，**超曲面就是比所在空间少一维的流形**。

### 形式化定义

设有一个 $n$ 维空间（可以是欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$，也可以是更一般的流形）：

* 一个 **超曲面** 是 **局部维数为 $n-1$ 的子流形**。
* 换句话说，它是一个可以在局部用一个方程 $f(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0$ 描述的集合，且 $\nabla f \neq 0$。

### 直观理解

* 在 $\mathbb{R}^2$（平面）里，超曲面是 **曲线**；
* 在 $\mathbb{R}^3$（三维空间）里，超曲面是 **曲面**；
* 在 $\mathbb{R}^4$ 里，超曲面是一个 **三维的几何对象**，我们不能直观地想象，但数学上它就是三维“壳层”。

### 例子

1. **球面**

   * 在三维空间 $\mathbb{R}^3$ 中，球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 是超曲面。
   * 在四维空间 $\mathbb{R}^4$ 中，满足 $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=1$ 的集合也是一个超曲面（它是一个“三维球壳”）。

2. **平面**

   * 在 $\mathbb{R}^n$ 中，方程 $x_1=0$ 给出的集合是一个超曲面（一个 $(n-1)$ 维平面）。

3. **一般隐函数**

   * 任意一个光滑函数 $f(x_1,\dots,x_n)=0$ 定义的集合，只要梯度不为零，就是一个超曲面。