8.10. MLE-最大似然估计¶

Maximum Likelihood Estimation
一种统计方法，用于估计模型参数，使其使观测数据的似然函数最大化。

8.10.1. 前置知识¶

什么是似然函数¶

似然函数是指在给定一组观测数据的情况下，关于参数的概率分布函数。它表示了在已知观测数据的情况下，参数取值的可能性大小。
核心思想是，在给定一组观测数据的情况下，通过调整模型的参数来使观测数据出现的概率最大化
定义：设 X 是一个随机变量，其概率分布由参数 θ 决定。观测到 X 的值为 x，则在参数 θ 下的似然函数定义为:

\(L(\theta|x) = P(X=x|\theta)\)

解释:

似然函数表示，在参数 θ 确定的情况下，观测到数据 x 的可能性。

8.10.2. 基本原理¶

假设我们有一个观测数据集 D，其概率分布由参数 θ 决定。MLE 的目标是找到参数 θ 的值，使得观测数据集 D 出现的概率最大化。

数学表达式:

\(max_{\theta} = L(\theta|D)\)

说明:

L(θ∣D) 表示观测数据集 D 在参数 θ 下的似然函数

求解方法:

直接求解: 直接对似然函数进行求导，找到使导数为零的参数值。
迭代求解: 使用梯度下降法或牛顿法等迭代方法，逐步逼近最优参数值。

优缺点:

优点:
    MLE 是一个直观且易于理解的方法。
    MLE 在很多情况下具有良好的统计性质，例如渐近一致性和效率性。
缺点:
    MLE 对噪声敏感，容易受到异常值的影响。
    MLE 的求解过程可能比较复杂，特别是在参数空间维度较高的情况下。

8.10.3. 示例-抛硬币¶

假设我们抛掷一枚硬币 10 次，正面朝上的次数为 6 次。
用 MLE 来估计硬币正面朝上的概率。

似然函数说明¶

硬币正面朝上的概率为 θ，背面朝上的概率为 1−θ。
抛掷 10 次硬币，正面朝上的次数为 6 次的概率为:

\(P(10次有6次正面朝上 | \theta) = \binom{10}{6} \theta^6 (1-\theta)^4\)

求解 MLE¶

令 L(θ∣D) 表示观测数据的似然函数，则:

\(L(\theta|D) = \binom{10}{6} \theta^6 (1-\theta)^4\)

对似然函数求导，并令导数为零，得到:

\(\frac{dL(\theta|D)}{d\theta} = 6\binom{10}{6} \theta^5 (1-\theta)^4 - 4\binom{10}{6} \theta^6 (1-\theta)^3 = 0\)

解得:

\(\theta = \frac{3}{5}\)

结论:

根据 MLE 的估计，硬币正面朝上的概率为 3/5

8.10.4. 示例-学生成绩¶

30 名学生参加了考试，考试成绩服从正态分布。我们想知道这个班级的平均成绩是多少。

备注

这个例子有点复杂

数据¶

小明  80
小红  90
张三  75
...

似然函数¶

正态分布的概率密度函数为：

\(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right]\)

其中，μ 是平均成绩，σ^2是方差。

令 x1, x2, … x30 表示所有学生的考试成绩，则观测数据的似然函数为：

\(L(\mu, \sigma^2) = \prod_{i=1}^{30} f(x_i) = \prod_{i=1}^{30} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left[-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}\right]\)

最大似然估计¶

由于求解含有两个参数的似然函数比较复杂，我们通常先对 σ^2 进行估计。

估计方差¶

对似然函数取对数，并对 σ^2 求导，得到：

\(\frac{\partial \log L(\mu, \sigma^2)}{\partial \sigma^2} = -\frac{n}{2} \log \sigma^2 + \frac{1}{2\sigma^4} \sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\)

令导数为零，得到：

\(\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\)

估计平均成绩¶

将估计的方差代入似然函数，得到：

\(L(\mu) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2\pi \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2}} \exp\left[-\frac{(x_i-\mu)^2}{2 \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2}\right]\)

对似然函数取对数，并对 μ 求导，得到：

\(\frac{\partial \log L(\mu)}{\partial \mu} = -\frac{n}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)\)

令导数为零，得到：

\(\mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i\)