解析解(Analytic Solution)
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* 解析解（Analytic Solution），也称为闭式解（Closed-form Solution），是指通过数学公式或表达式直接给出问题的精确解。
* 这种解法不需要数值近似或迭代过程，而是利用已知的数学函数、定理和规则来明确地表示结果。

特点
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* 精确性：解析解提供了问题的精确答案，而不是近似值
* 简洁性：解析解往往可以用相对简单的数学表达式来描述
* 通用性：对于某些类型的方程或问题，解析解可以适用于所有可能的情况，而不仅仅是特定实例
* 易于分析：由于其形式化的特点，解析解便于进行进一步的数学分析和推导



应用场景
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解析解广泛应用于各种科学和工程领域，特别是在那些能够用数学模型准确描述的问题中。例如：

* 微分方程：一些常微分方程和偏微分方程有解析解，这使得它们可以直接求解而不必依赖数值方法。
* 线性代数：对于线性系统，如果矩阵是可逆的，那么可以通过矩阵运算直接求得解析解。
* 优化问题：在某些情况下，可以通过解析方法找到目标函数的最大值或最小值。
* 概率与统计：许多概率分布（如正态分布）都有解析形式的概率密度函数，这对于理论分析非常重要。

* 方程求解：线性方程组的解；二次方程的求解公式
* 物理学：牛顿运动方程的解析解；电磁学中的麦克斯韦方程组
* 微分方程：某些简单微分方程的显式解，如 𝑦′+𝑦=0 的解 𝑦=𝐶𝑒−𝑥 。



优势与局限
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优势::

    提供了对问题的深刻理解，因为解决方案以清晰的数学形式呈现。
    可以快速计算出结果，尤其是在计算机辅助下。
    有助于验证数值方法的正确性和准确性。

局限::

    并不是所有问题都能找到解析解；对于复杂的非线性系统或者高维问题，解析解可能不存在或难以获得。
    即使存在解析解，有时表达式也可能非常复杂，难以处理或解释。


解析解在线性回归中的应用
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在训练线性回归模型时，目标是找到一组参数  :math:`\mathbf{w}`  使得预测值  :math:`\mathbf{X w}`  和真实值  :math:`\mathbf{y}`  之间的误差（通常用平方损失衡量）最小化：

.. math::

    \|\mathbf{y}-\mathbf{X} \mathbf{w}\|^{2}


* 通过解析方法，我们可以直接求解出最优解  :math:`\mathbf{w}^{*}`

关键步骤
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* 1.将偏置项合并：将偏置  b  融入权重  :math:`\mathbf{w}`  和设计矩阵  :math:`\mathbf{X}`
    * 方法是在设计矩阵 ``X`` 的每一行末尾添加一个1，从而将偏置视为权重的一部分。

* 2. 计算梯度：对损失函数的参数  :math:`\mathbf{w}`  求导，并设置梯度为零

.. math::

    \begin{array}{lll}
    \partial_{\mathbf{w}}\|\mathbf{y}-\mathbf{X} \mathbf{w}\|^{2}=0 \\
    \\
    计算过程：\\
        \|\mathbf{y}-\mathbf{X} \mathbf{w}\|^{2} \\
    展开为: \\
        \|\mathbf{y}-\mathbf{X} \mathbf{w}\|^{2}=(\mathbf{y}-\mathbf{X}\mathbf{w})^{\top} (\mathbf{y}-\mathbf{X}\mathbf{w}) \\
    对参数  \mathbf{w}  求导：\\
        \frac{\partial}{\partial \mathbf{w}}\|\mathbf{y}-\mathbf{X} \mathbf{w}\|^{2} \\
    为了简化推导, 首先将损失函数写成矩阵形式:\\
        L(\mathbf{w}) =\|\mathbf{y}-\mathbf{X} \mathbf{w}\|^{2} =(\mathbf{y}-\mathbf{X} \mathbf{w})^{\top}(\mathbf{y}-\mathbf{X} \mathbf{w}) \\
    使用导数规则:\\
        \frac{\partial}{\partial \mathbf{w}} L(\mathbf{w}) =\frac{\partial}{\partial \mathbf{w}}\left(\mathbf{y}^{\top} \mathbf{y}-2 \mathbf{y}^{\top} \mathbf{X} \mathbf{w}+\mathbf{w}^{\top} \mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \mathbf{w}\right) \\
    对每一项分别求导：\\
        1.  \frac{\partial}{\partial \mathbf{w}}\left(\mathbf{y}^{\top} \mathbf{y}\right)=0 , 因为这项不依赖于  \mathbf{w} \\
        2.  \frac{\partial}{\partial \mathbf{w}}\left(-2 \mathbf{y}^{\top} \mathbf{X} \mathbf{w}\right)=-2 \mathbf{X}^{\top} \mathbf{y} \\
        3.  \frac{\partial}{\partial \mathbf{w}}\left(\mathbf{w}^{\top} \mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \mathbf{w}\right)=2 \mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \mathbf{w} \\
    将这些合并后得到：\\
        \frac{\partial}{\partial \mathbf{w}} L(\mathbf{w})=2 \mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \mathbf{w}-2 \mathbf{X}^{\top} \mathbf{y} \\
    设置梯度为零：\\
        2 \mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \mathbf{w}-2 \mathbf{X}^{\top} \mathbf{y}=0 \\
    \end{array}


* 3. 解方程：通过简单的代数操作, 得到公式：

.. math::

    \mathbf{w}^{*}=\left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X}\right)^{-1} \mathbf{X}^{\top} \mathbf{y}