概率密度函数(Probability Density Function, PDF)
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* 概率密度函数（PDF）是连续随机变量的一种重要概念，用于描述随机变量取值在某一区间内的可能性。
* 概率密度函数不能直接表示单个点的概率，而是通过积分计算出随机变量在某个范围内的概率。


定义
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* 若随机变量 𝑋 是连续的，则其概率密度函数 :math:`𝑓_𝑋(𝑥)` 满足以下条件：

.. math::

    \begin{array}{l}
    1.  f_{X}(x) \geq 0 , 对所有  x \\
    2. 随机变量  X  在某区间  [a, b]  内的概率为: \\
        P(a \leq X \leq b)=\int_{a}^{b} f_{X}(x) d x \\
    3. 概率密度函数在整个定义域上的积分为 1 : \\
        \int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(x) d x=1
    \end{array}

直观理解
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-  :math:`f_{X}(x)`  表示随机变量在某一点的"密度", 不是概率。
-  :math:`f_{X}(x)`  越大, 随机变量在该点附近取值的可能性越高。
- 真正的概率需要通过积分计算，例如：
    -  :math:`P(a \leq X \leq b)`  是  :math:`f_{X}(x)`  在区间  [a, b]  的积分。

概率密度函数的特性
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1. 非负性：

.. math::

    f_{X}(x) \geq 0, \quad \forall x

2. 归一性：

.. math::

    \int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(x) d x=1

3. 区间概率：随机变量在区间  [a, b]  内取值的概率为：

.. math::

    P(a \leq X \leq b)=\int_{a}^{b} f_{X}(x) d x

4. 概率与微分的关系:
    -  :math:`P(X=c)=0`  对任何具体值  c  都成  :math:`\stackrel{\downarrow}{ }`  ，因为积分的区间长度为零。




.. figure:: https://img.zhaoweiguo.com/uPic/2024/12/v0xpsC.png

    与概率质量函数的区别



常见概率密度函数
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1. 均匀分布

.. math::

    f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{ll}
        \frac{1}{b-a}, & \text { if } a \leq x \leq b \\
        0, & \text { otherwise }
    \end{array}\right.

    随机变量在区间  [a, b]  上均匀分布, 所有值的密度相等。

2. 正态分布

.. math::

    f_{X}(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}}

     \mu  是均值,  \sigma  是标准差 \\
    正态分布的图形为对称的钟形曲线

3. 指数分布

.. math::

    f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{ll}
        \lambda e^{-\lambda x}, & x \geq 0 \\
        0, & x<0
    \end{array}\right.

    用于描述事件发生的时间间隔。

4. 伽马分布


.. math::

    f_{X}(x)=\frac{\lambda^{k} x^{k-1} e^{-\lambda x}}{\Gamma(k)}, \quad x \geq 0

    \Gamma(k)  是伽马函数。

统计量计算
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1. 期望值

.. math::

    \mathbb{E}[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x f_{X}(x) d x

2. 方差

.. math::

    \operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}\left[X^{2}\right]-(\mathbb{E}[X])^{2}

    其中: \\
    \mathbb{E}\left[X^{2}\right]=\int_{-\infty}^{\infty} x^{2} f_{X}(x) d x