.. _正态分布:

# 分布-正态分布(Normal Distribution)

* 关联 :ref:`高斯分布`


* 正态分布（Normal Distribution），又称高斯分布，是一种重要的连续概率分布，广泛应用于自然科学和社会科学领域。正态分布是描述随机变量的一种理想化模型，它的概率密度函数呈钟形，具有对称性和特定的数学特性。


```math
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}
```

其中
```
μ：均值（mean），表示分布的中心。
𝜎^2 ：方差（variance），表示分布的宽度，反映数据的离散程度
```

𝜎 越大，分布越宽、越平
𝜎 越小，分布越窄、越尖

当随机变量 𝑋 服从正态分布时，记作
```
𝑋 ∼ 𝑁(𝜇, 𝜎^2)
```


![](https://img.zhaoweiguo.com/uPic/2024/12/kTpXEP.png)



## 特点

对称性
```
正态分布以均值 𝜇 为中心，关于 𝜇 对称。
均值、中位数和众数相等，且都等于 𝜇。
```

钟形曲线
```
曲线呈钟形，峰值位于均值 𝜇，两侧逐渐向零无限接近，但永远不会达到零。
```

68-95-99.7 规则（经验法则）
```
在正态分布中：
数据有约 68% 位于 𝜇±𝜎 范围内。
数据有约 95% 位于 𝜇±2𝜎 范围内。
数据有约 99.7% 位于 𝜇±3𝜎 范围内。
```

![](https://img.zhaoweiguo.com/uPic/2024/12/h8D3o6.png)


标准化
```
标准正态分布是特殊的正态分布，其均值为 0，标准差为 1，即 𝑁(0,1)。
可通过标准化公式将任意正态分布转化为标准正态分布：
    𝑍=(𝑋−𝜇)/𝜎
    其中 𝑍 是标准化后的变量。
```



## 应用

自然现象
```
人类身高、体重、智商等通常服从正态分布。
测量误差或噪声往往近似服从正态分布。
```

统计分析
```
大量统计方法基于正态分布假设，例如线性回归、假设检验。
```

金融领域
```
用于建模资产回报、风险估计。
```

机器学习与数据科学
```
特征工程中对数据标准化。
假设数据满足正态分布，简化模型假设。
```




## 标准正态分布

标准正态分布是特定参数下的高斯分布
```
𝜇=0, 𝜎2=1
```

其概率密度函数为:

```math
𝑓(𝑥)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}
```


* 标准正态分布的累积分布函数 **Φ(𝑥)** 常用于统计表或数值计算。



## 多维高斯分布

* 多维高斯分布是高斯分布的扩展，适用于多变量的情况。
* 其概率密度函数为：

```math
f(\mathbf{x})=\frac{1}{(2 \pi)^{n / 2}|\boldsymbol{\Sigma}|^{1 / 2}} \exp \left(-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\mu)^{\top} \boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\mathbf{x}-\mu)\right)
```


其中: \\
-  \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}  是随机变量向量 \\
-  \mu \in \mathbb{R}^{n}  是均值向量 \\
-  \boldsymbol{\Sigma} \in \mathbb{R}^{n \times n}  是协方差矩阵，描述变量之间的相关性