.. _均匀分布:

# 分布-均匀分布(Uniform Distribution)

* 均匀分布：一种概率分布，其中所有可能的结果发生的概率都是相等的。根据随机变量的取值范围，可以将均匀分布分为以下两种类型：





## 类型

### 1. 离散均匀分布

* 定义：在有限个可能取值中，每个值的概率都相等。
* 例子：掷一个公平的骰子，可能的结果是1到6，每个结果的概率为 1/6
* 概率公式： 如果随机变量 𝑋 的可能取值为 ${𝑥_1, 𝑥_2, ..., 𝑥_𝑛}$ ，则每个值的概率为：

```math
𝑃(𝑋=𝑥_𝑖)=\frac{1}{𝑛}, 𝑖=1, 2, …, 𝑛
```



### 2. 连续均匀分布

* 定义：在一个连续区间 ``[𝑎,𝑏]`` 内，随机变量取任意值的概率密度相同。
*  概率密度函数：

```math
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{1}{b-a}, & \text { 如果 } x \in[a, b] \\
0, & \text { 如果 } x \notin[a, b]
\end{array}\right.
```

- 性质:
- 随机变量的期望值 (平均值): $\mathbb{E}[X]=\frac{a+b}{2}$
- 随机变量的方差:  $\operatorname{Var}(X)=\frac{(b-a)^{2}}{12}$

## 特点

* 概率相等：在指定范围内，每个值发生的概率（离散）或概率密度（连续）是一样的。
* 简单直观：均匀分布通常用于描述完全随机、无偏的情况，比如掷骰子、抽签、生成随机数等


## 应用

* 模拟随机现象：如生成随机数，随机抽样。
* 概率模型：在事件信息缺失时，用均匀分布表示未知的概率分布（最大熵原则）。
* 工程和科学：均匀分布常用于模拟实验数据或初始假设。