.. _伯努利分布:

# 分布-伯努利分布(Bernoulli Distribution)



* 伯努利分布是概率论中的一种离散概率分布，用于描述一次实验中只有两个可能结果的情形，比如成功与失败、是与否、1与0。


## 定义

一个随机变量 𝑋 服从伯努利分布，记为：

```math
𝑋∼Bernoulli(𝑝)
```

其中
```
𝑋 是一个离散随机变量。
𝑝 是成功的概率（0≤𝑝≤1）
1−𝑝 是失败的概率
```

随机变量 𝑋 的取值范围为
```
𝑋=1  成功（概率𝑝）
𝑋=0  失败（概率1−𝑝）
```


## 概率质量函数(PMF)

伯努利分布的概率质量函数为

```math
P(X=x)=p^{x}(1-p)^{1-x},   x \in\{0,1\}
```


解释
```
- 当  x=1  时:  P(X=1)=p
- 当  x=0  时:  P(X=0)=1-p
```


## 统计特性

1. 期望值 (均值):

```math
\mathbb{E}[X]=p
```

2. 方差:

```math
\operatorname{Var}(X)=p(1-p)
```

3. 标准差：

```math
\sigma=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}=\sqrt{p(1-p)}
```


## 直观解释

伯努利分布可以看作是单次试验的结果建模。例如：

投掷一次硬币：
    𝑋=1 表示正面朝上（成功），概率 𝑝。
    𝑋=0 表示反面朝上（失败），概率 1−𝑝。

产品质量检测：
    𝑋=1 表示产品合格。
    𝑋=0 表示产品不合格。