# 迹函数(trace function)

* 迹函数（trace function）是线性代数中一个非常重要的概念
* 迹函数是矩阵的重要标量特征之一


## 定义

* 对于一个 𝑛×𝑛 的方阵 **𝐴** ，其迹（trace）定义为矩阵对角线元素的总和，用符号 tr(𝐴) 表示：

```math
tr(\mathbf{A}) = \sum_{i=1}^n{a_{ii}}
```

* 其中， $a_{ii}$ 是矩阵 **A** 的第i行、第i列的元素


## 性质

* 线性性

```math
tr(\mathbf{A} + \mathbf{B}) = tr(\mathbf{A}) + tr(\mathbf{B}) \\
tr(c \mathbf{A}) = c \cdot tr(\mathbf{A}) ，其中 c 是常量
```


* 对转置的性质：迹值对转置操作不变

```math
tr(\mathbf{A^\top}) = tr(\mathbf{A})
```


* 对乘积的性质（循环不变性）

```math
若 \mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n} 且 \mathbf{B} \in \mathbb{R}^{n \times m} ,则 \\
tr(\mathbf{A} \mathbf{B}) = tr(\mathbf{B} \mathbf{A})
```


* 迹和特征值：矩阵 **𝐴** 的迹等于其特征值之和。

* 迹的导数

```math
对于可导矩阵函数 \mathbf{X} ，tr(\mathbf{X}) 关于 \mathbf{X} 的梯度为 \\
\nabla_{\mathbf{x}} tr(\mathbf{X}) = \mathbf{I} \\
其中， \mathbf{I} 是单位矩阵
```